Номер 342, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

342. Среди рисунков 46, а–в выберите тот, на котором изображен график функции $y = \cos x$.

а) y

1

O

-1

$-\pi$

$-\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

x

б) y

1

O

-1

$-\pi$

$-\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

x

в) y

1

O

-1

$-\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

x

Рис. 46

Для того чтобы выбрать график функции $y = \cos(x)$, необходимо проверить соответствие каждого из предложенных графиков основным свойствам функции косинус.

Основные свойства функции $y = \cos(x)$, которые мы будем использовать для проверки:

• Функция является четной, то есть ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• При $x=0$ значение функции равно $1$, то есть $\cos(0) = 1$.
• При $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=-\frac{\pi}{2}$ значение функции равно $0$.
• Область значений функции — отрезок $[-1, 1]$.

Проанализируем каждый график:

a) График на этом рисунке симметричен относительно оси $Oy$. При $x=0$, значение функции $y=1$. При $x=\pm\frac{\pi}{2}$, значение $y=0$. Область значений ограничена отрезком $[-1, 1]$. Все эти характеристики полностью соответствуют свойствам функции $y=\cos(x)$.

Ответ: на рисунке а) изображен график функции $y = \cos(x)$.

б) График на этом рисунке симметричен относительно начала координат (свойство нечетной функции), а не оси $Oy$. При $x=0$, значение функции $y=0$, что не соответствует свойству косинуса ($\cos(0)=1$). Этот график является графиком функции синуса, $y=\sin(x)$.

Ответ: на рисунке б) изображен график функции $y = \sin(x)$.

в) График на этом рисунке имеет вертикальные асимптоты, например, в точках $x=\pm\frac{\pi}{2}$, где функция не определена. Функция $y=\cos(x)$ определена для всех действительных чисел. Область значений функции на графике — все действительные числа, а не отрезок $[-1, 1]$. Этот график является графиком функции тангенса, $y=\tan(x)$.

Ответ: на рисунке в) изображен график функции $y = \tan(x)$.