Номер 339, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

339. В одной системе координат постройте графики функций:

а) $f(x) = |x|;$

б) $f(x) = |x + 1|;$

в) $f(x) = |x - 2|;$

г) $f(x) = |x| + 3;$

д) $f(x) = |x| - 4;$

е) $f(x) = |x + 2| - 5.$

Для построения всех графиков в одной системе координат мы будем использовать преобразования графика базовой функции $f(x) = |x|$.

а) f(x) = |x|;

График функции $f(x) = |x|$ является основным для всех последующих построений. По определению модуля:
$f(x) = x$, если $x \geq 0$
$f(x) = -x$, если $x < 0$

Следовательно, график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:
1. Луч $y = x$ для неотрицательных значений $x$ (биссектриса I координатной четверти).
2. Луч $y = -x$ для отрицательных значений $x$ (биссектриса II координатной четверти).

Вершина графика находится в точке $(0, 0)$. График имеет V-образную форму ("галочка") и симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График — V-образная линия, состоящая из двух лучей $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, с вершиной в точке $(0, 0)$.

б) f(x) = |x + 1|;

График функции $f(x) = |x + 1|$ получается из графика $y = |x|$ с помощью параллельного переноса (сдвига). Преобразование вида $y = f(x+a)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ влево на $a$ единиц при $a > 0$.

В нашем случае $a=1$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x|$ сдвинутый на 1 единицу влево по оси Ox. Вершина находится в точке $(-1, 0)$.

в) f(x) = |x - 2|;

График функции $f(x) = |x - 2|$ получается из графика $y = |x|$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $y = f(x-a)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ вправо на $a$ единиц при $a > 0$.

В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x|$ сдвинутый на 2 единицы вправо по оси Ox. Вершина находится в точке $(2, 0)$.

г) f(x) = |x| + 3;

График функции $f(x) = |x| + 3$ получается из графика $y = |x|$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $y = f(x) + b$ сдвигает график функции $y=f(x)$ вверх на $b$ единиц при $b > 0$.

В нашем случае $b=3$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x|$ сдвинутый на 3 единицы вверх по оси Oy. Вершина находится в точке $(0, 3)$.

д) f(x) = |x| - 4;

График функции $f(x) = |x| - 4$ получается из графика $y = |x|$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $y = f(x) - b$ сдвигает график функции $y=f(x)$ вниз на $b$ единиц при $b > 0$.

В нашем случае $b=4$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -4)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x|$ сдвинутый на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина находится в точке $(0, -4)$.

е) f(x) = |x + 2| - 5;

График функции $f(x) = |x + 2| - 5$ получается из графика $y = |x|$ с помощью двух параллельных переносов:
1. Горизонтальный сдвиг: выражение $|x + 2|$ означает сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы влево по оси Ox.
2. Вертикальный сдвиг: вычитание 5 означает сдвиг получившегося графика на 5 единиц вниз по оси Oy.

Таким образом, мы сдвигаем график $y = |x|$ на 2 единицы влево и на 5 единиц вниз. Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, -5)$.

Ответ: График функции $f(x) = |x|$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox и на 5 единиц вниз по оси Oy. Вершина находится в точке $(-2, -5)$.