Номер 340, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

340. Известно, что функция $y = f(x)$ является нечетной. На рисунке 44 изображен график этой функции для $x \ge 0$. Изобразите в тетради график данной функции для $x \in [-7; 7]$. Найдите:

а) нули функции;

б) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;

в) промежутки возрастания функции.

По условию, функция $y = f(x)$ является нечетной. Это означает, что ее область определения симметрична относительно нуля, и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Нам дан график функции для $x \ge 0$ (рисунок 44), и на его основе мы должны построить график для $x \in [-7; 7]$ и проанализировать его. Для построения графика на промежутке $[-7; 0)$ мы воспользуемся свойством симметрии. Каждая точка $(x, y)$ на графике для $x>0$ имеет симметричную точку $(-x, -y)$ на графике для $x<0$.

Исходя из типичного вида графика для такого задания (рисунок 44) и свойства нечетности, проведем полный анализ функции на отрезке $[-7; 7]$.

а) нули функции;

Нули функции – это значения $x$, при которых $f(x)=0$. На рисунке 44 видно, что на промежутке $[0; 7]$ функция обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=4$. Поскольку функция нечетная, для каждого ненулевого корня $x_0$ существует симметричный корень $-x_0$, так как $f(-x_0) = -f(x_0) = -0 = 0$. Следовательно, если $x=4$ является нулем, то $x=-4$ также является нулем. Корень $x=0$ симметричен сам себе. Таким образом, все нули функции на отрезке $[-7; 7]$: $x = -4, x = 0, x = 4$.

Ответ: $-4, 0, 4$.

б) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;

Нам нужно найти все $x \in [-7; 7]$, для которых $f(x) < 0$. Из графика для $x \ge 0$ видно, что $f(x) < 0$ на промежутке $(4; 7]$. Теперь рассмотрим промежуток $x \in [-7; 0)$. На этом промежутке $f(x) < 0$ тогда и только тогда, когда $-f(-x) < 0$, что равносильно $f(-x) > 0$. Обозначим $t = -x$. Когда $x$ пробегает интервал $[-7; 0)$, $t$ пробегает интервал $(0; 7]$. Нам нужно найти, при каких $t \in (0; 7]$ выполняется $f(t) > 0$. Из графика на рисунке 44 видно, что это происходит на интервале $(0; 4)$. Значит, $t \in (0; 4)$. Так как $x = -t$, то $x \in (-4; 0)$. Объединяя результаты, получаем, что функция отрицательна на промежутках $(-4; 0)$ и $(4; 7]$.

Ответ: $x \in (-4; 0) \cup (4; 7]$.

в) промежутки возрастания функции.

Из графика на рисунке 44 видно, что на положительной полуоси функция возрастает на промежутках $[0; 2]$ и $[6; 7]$. Для нечетной функции характер монотонности на симметричных промежутках сохраняется. То есть, если функция возрастает на $[a, b]$, то она возрастает и на $[-b, -a]$. Следовательно, на отрицательной полуоси функция будет возрастать на промежутках, симметричных $[0; 2]$ и $[6; 7]$.

• Промежутку $[0; 2]$ соответствует симметричный промежуток $[-2; 0]$.
• Промежутку $[6; 7]$ соответствует симметричный промежуток $[-7; -6]$.

Итак, функция возрастает на $[-7; -6]$, $[-2; 0]$ и $[0; 2]$, а также на $[6; 7]$. Промежутки $[-2; 0]$ и $[0; 2]$ можно объединить, так как функция возрастает в окрестности точки $x=0$. Получаем объединенный промежуток $[-2; 2]$. Таким образом, итоговые промежутки возрастания функции: $[-7; -6]$, $[-2; 2]$ и $[6; 7]$.

Ответ: $[-7; -6]; [-2; 2]; [6; 7]$.