Номер 341, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

341. Известно, что функция $y = f(x)$ является нечетной. На рисунке 45 изображен график этой функции для $x \ge 0$. Найдите:

a) $f(-1); f(-5); f(-3);$

б) число корней уравнения $f(x) = -2; f(x) = 4;$

в) все целые решения неравенства $f(x) \ge 1; f(x) < -3.$

Рис. 44

Рис. 45

Поскольку функция $y = f(x)$ является нечетной, для нее выполняется свойство $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. На рисунке 45 дан график для $x \ge 0$. Чтобы решить задачу, мы мысленно достроим график для $x < 0$, отразив данную часть графика симметрично относительно точки $(0, 0)$.

Ключевые точки на графике для $x \ge 0$: $(0, 0)$, $(3, -4)$, $(5, 4)$ и $(7, -5)$.

Соответствующие им симметричные точки для $x \le 0$ будут: $(0, 0)$, $(-3, 4)$, $(-5, -4)$ и $(-7, 5)$.

Таким образом, мы можем проанализировать поведение функции на всей ее области определения.

а) $f(-1); f(-5); f(-3)$

Используем свойство нечетной функции $f(-x) = -f(x)$.

1. Чтобы найти $f(-1)$, сначала найдем $f(1)$ из графика. Точка с абсциссой $x=1$ лежит на отрезке прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(3, -4)$. Уравнение этой прямой: $y = kx$. Подставив координаты точки $(3, -4)$, получим: $-4 = k \cdot 3$, откуда $k = -\frac{4}{3}$. Итак, на отрезке $[0, 3]$ функция задается формулой $f(x) = -\frac{4}{3}x$.
Тогда $f(1) = -\frac{4}{3} \cdot 1 = -\frac{4}{3}$.
Следовательно, $f(-1) = -f(1) = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$.

2. Чтобы найти $f(-5)$, сначала найдем $f(5)$ из графика. Из графика видно, что при $x=5$ значение функции $y=4$, то есть $f(5) = 4$.
Следовательно, $f(-5) = -f(5) = -4$.

3. Чтобы найти $f(-3)$, сначала найдем $f(3)$ из графика. Из графика видно, что при $x=3$ значение функции $y=-4$, то есть $f(3) = -4$.
Следовательно, $f(-3) = -f(3) = -(-4) = 4$.

Ответ: $f(-1) = \frac{4}{3}$; $f(-5) = -4$; $f(-3) = 4$.

б) число корней уравнения $f(x)=-2; f(x)=4$

Число корней уравнения $f(x) = c$ равно числу точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = c$. Мы будем рассматривать полный график функции, включая часть для $x < 0$.

1. Уравнение $f(x) = -2$.
Проведем прямую $y = -2$.
- Для $x > 0$: Прямая $y = -2$ пересекает график на двух участках: на отрезке от $(0,0)$ до $(3,-4)$ и на отрезке от $(5,4)$ до $(7,-5)$. Это дает 2 корня.
- Для $x < 0$: В силу симметрии, график для $x<0$ также будет пересечен прямой $y=-2$. Это пересечение произойдет на отрезке, симметричном отрезку от $(0,0)$ до $(-3,4)$, то есть на отрезке от $(-3,4)$ до $(-5,-4)$. Это дает еще 1 корень.
Всего получаем $2 + 1 = 3$ корня.

2. Уравнение $f(x) = 4$.
Проведем прямую $y = 4$.
- Для $x > 0$: Прямая $y = 4$ касается графика в его вершине в точке $(5, 4)$. Это дает 1 корень: $x = 5$.
- Для $x < 0$: В силу симметрии, график для $x < 0$ имеет вершину в точке $(-3, 4)$. Прямая $y=4$ касается графика в этой точке. Это дает еще 1 корень: $x = -3$.
Всего получаем $1 + 1 = 2$ корня.

Ответ: уравнение $f(x) = -2$ имеет 3 корня; уравнение $f(x) = 4$ имеет 2 корня.

в) все целые решения неравенства $f(x) \ge 1; f(x) < -3$

Будем находить все целые значения $x$, для которых выполняются данные неравенства, используя полный график функции.

1. Неравенство $f(x) \ge 1$.
Нам нужно найти все целые $x$, для которых точки графика лежат на прямой $y=1$ или выше нее.
Проверим целые значения $x$ из области определения (судя по графику, от -7 до 7).
- $x=5$: $f(5)=4$, $4 \ge 1$. Подходит.
- $x=4$: $f(4)=0$ (на отрезке между $(3,-4)$ и $(5,4)$), $0 \not\ge 1$. Не подходит.
- $x=0, 1, 2, 3, 6, 7$: значения функции $f(x)$ отрицательны или равны 0. Не подходят.
Теперь проверим отрицательные целые $x$:
- $x=-1$: $f(-1) = -f(1) = \frac{4}{3}$, $\frac{4}{3} \ge 1$. Подходит.
- $x=-2$: $f(-2) = -f(2) = -(-\frac{4}{3} \cdot 2) = \frac{8}{3}$, $\frac{8}{3} \ge 1$. Подходит.
- $x=-3$: $f(-3) = -f(3) = 4$, $4 \ge 1$. Подходит.
- $x=-4$: $f(-4)=-f(4)=0$, $0 \not\ge 1$. Не подходит.
- $x=-5$: $f(-5)=-f(5)=-4$, $-4 \not\ge 1$. Не подходит.
- $x=-6$: $f(-6)=-f(6)$. $f(6)$ находится на отрезке между $(5,4)$ и $(7,-5)$. $f(6)=-0.5$. Значит $f(-6)=0.5$, $0.5 \not\ge 1$. Не подходит.
- $x=-7$: $f(-7) = -f(7) = -(-5) = 5$, $5 \ge 1$. Подходит.
Целые решения: $\{-7, -3, -2, -1, 5\}$.

2. Неравенство $f(x) < -3$.
Нам нужно найти все целые $x$, для которых точки графика лежат ниже прямой $y=-3$.
Проверим целые значения $x$.
- $x=3$: $f(3)=-4$, $-4 < -3$. Подходит.
- $x=7$: $f(7)=-5$, $-5 < -3$. Подходит.
- Другие положительные целые $x$ (0, 1, 2, 4, 5, 6) не подходят, так как $f(x) \ge -8/3 > -3$.
Проверим отрицательные целые $x$:
- $x=-5$: $f(-5)=-f(5)=-4$, $-4 < -3$. Подходит.
- Другие отрицательные целые $x$ (-1, -2, -3, -4, -6, -7) не подходят, так как $f(x) \ge 0$.
Целые решения: $\{-5, 3, 7\}$.

Ответ: целые решения неравенства $f(x) \ge 1$: $\{-7, -3, -2, -1, 5\}$; целые решения неравенства $f(x) < -3$: $\{-5, 3, 7\}$.