Номер 346, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

346. Найдите множество значений функции:

а) $y = \sin x + 2$;

б) $y = 3\cos x - 1$.

а) Для нахождения множества значений функции $y = \sin x + 2$ воспользуемся известным свойством ограниченности функции синус. Множество значений функции $z = \sin x$ представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin x \le 1$.
Чтобы найти множество значений для функции $y$, необходимо применить к этому неравенству те же преобразования, что и к $\sin x$ в исходной функции. В данном случае, нужно прибавить 2 ко всем частям неравенства:
$-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$.
Выполнив сложение, получаем:
$1 \le y \le 3$.
Таким образом, множество значений функции $y = \sin x + 2$ — это отрезок $[1; 3]$.
Ответ: $E(y) = [1; 3]$.

б) Для нахождения множества значений функции $y = 3\cos x - 1$ воспользуемся свойством ограниченности функции косинус. Множество значений функции $z = \cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Применим к неравенству последовательно все преобразования из формулы для $y$. Сначала умножим все части неравенства на 3:
$3 \cdot (-1) \le 3\cos x \le 3 \cdot 1$.
$-3 \le 3\cos x \le 3$.
Теперь вычтем 1 из всех частей полученного неравенства:
$-3 - 1 \le 3\cos x - 1 \le 3 - 1$.
Выполнив вычитание, получаем:
$-4 \le y \le 2$.
Таким образом, множество значений функции $y = 3\cos x - 1$ — это отрезок $[-4; 2]$.
Ответ: $E(y) = [-4; 2]$.