Номер 351, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

351. Верно ли, что $\operatorname{ctg}x > 0$, если:

а) $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2});$

б) $x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi);$

в) $x \in (-3\pi; -\frac{5\pi}{2});$

г) $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})?$

Чтобы определить, верно ли утверждение, необходимо проанализировать знак функции $ctg(x)$ на каждом из указанных интервалов. Функция котангенса $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ положительна, когда $cos(x)$ и $sin(x)$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в первой и третьей координатных четвертях.

Интервалы, на которых $ctg(x) > 0$, можно описать общей формулой: $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

а) $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$
Этот интервал соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны ($sin(x) < 0$, $cos(x) < 0$). Их отношение, котангенс, будет положительным. Также, если в общей формуле $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$ взять $n=1$, мы получим интервал $(\pi; \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, на данном интервале $ctg(x) > 0$.
Ответ: да, верно.

б) $x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$
Этот интервал соответствует четвертой координатной четверти. Здесь косинус положителен ($cos(x) > 0$), а синус отрицателен ($sin(x) < 0$). Их отношение, котангенс, будет отрицательным. Следовательно, на данном интервале неравенство $ctg(x) > 0$ не выполняется.
Ответ: нет, неверно.

в) $x \in (-3\pi; -\frac{5\pi}{2})$
Чтобы определить знак, подставим в общую формулу $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$ целое число $n$. При $n=-3$ получаем: $x \in (-3\pi; \frac{\pi}{2} - 3\pi)$, что равносильно $x \in (-3\pi; -\frac{5\pi}{2})$. Так как заданный интервал полностью совпадает с одним из интервалов, где котангенс положителен, утверждение верно. Этот интервал соответствует третьей четверти.
Ответ: да, верно.

г) $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})$
Снова воспользуемся общей формулой для положительного котангенса $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$. При $n=-1$ получаем: $x \in (-\pi; \frac{\pi}{2} - \pi)$, что равносильно $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})$. Заданный интервал является решением неравенства $ctg(x) > 0$. Этот интервал также соответствует третьей четверти.
Ответ: да, верно.