Номер 355, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

355. Постройте график функции $y = \cos x - 3$. Пользуясь графиком, определите:

а) промежутки монотонности функции;

б) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;

в) нули функции;

г) множество значений функции.

Для построения графика функции $y = \cos x - 3$ используется график функции $y = \cos x$, который сдвигается на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Исходная функция $y = \cos x$ является периодической с периодом $2\pi$, ее значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. После сдвига вниз на 3, график функции $y = \cos x - 3$ также будет периодической функцией с периодом $2\pi$, но ее значения будут лежать в отрезке $[-1-3, 1-3]$, то есть в $[-4, -2]$.

Используя эти свойства, определим характеристики функции.

а) промежутки монотонности функции;

Промежутки монотонности функции $y = \cos x - 3$ совпадают с промежутками монотонности функции $y = \cos x$, так как вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезках от точки максимума к точке минимума и возрастает на отрезках от точки минимума к точке максимума. Максимумы достигаются при $x = 2\pi k$, а минимумы при $x = \pi + 2\pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$). Следовательно, функция $y = \cos x - 3$ убывает на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ и возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ и убывает на промежутках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;

Наибольшее и наименьшее значения функции $y = \cos x - 3$ определяются на основе области значений функции $y = \cos x$, которая равна $[-1, 1]$.
Наибольшее значение функции достигается, когда $\cos x$ принимает свое максимальное значение, равное 1. Тогда $y_{наиб.} = 1 - 3 = -2$. Это происходит при значениях аргумента $x$, для которых $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение функции достигается, когда $\cos x$ принимает свое минимальное значение, равное -1. Тогда $y_{наим.} = -1 - 3 = -4$. Это происходит при значениях аргумента $x$, для которых $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-2$ и достигается при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение функции равно $-4$ и достигается при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) нули функции;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $y = 0$, то есть $\cos x - 3 = 0$.
$\cos x = 3$
Известно, что множество значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$, то есть для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Поскольку число 3 не принадлежит этому отрезку, уравнение $\cos x = 3$ не имеет решений. Это означает, что график функции не пересекает ось абсцисс (Ox).

Ответ: нулей у функции нет.

г) множество значений функции.

Множество значений функции (или область значений) – это все возможные значения, которые может принимать $y$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, для нахождения множества значений функции $y = \cos x - 3$ вычтем 3 из каждой части двойного неравенства:
$-1 - 3 \le \cos x - 3 \le 1 - 3$
$-4 \le y \le -2$
Следовательно, множество значений функции – это все числа на отрезке от -4 до -2 включительно.

Ответ: $E(y) = [-4, -2]$.