Номер 362, страница 214 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

362. Решите неравенство $f'(x) \leq 0$, если $f(x) = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3}$.

Для того чтобы решить неравенство $f'(x) \le 0$, сначала необходимо найти производную функции $f(x)$.

Дана функция: $f(x) = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3}$.

Находим ее производную $f'(x)$, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (3x)' - (x^2)' - (\frac{x^3}{3})' = 3 - 2x - x^2$.

Теперь подставим полученное выражение для производной в исходное неравенство:

$3 - 2x - x^2 \le 0$.

Для удобства решения умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$.

Отсюда находим два корня: $x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.

Квадратичная функция $y = x^2 + 2x - 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), когда аргумент $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $x \le -3$ и $x \ge 1$.

В виде интервала решение записывается как $(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$.