Номер 352, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

352. Постройте график функции:

а) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $y = \cos x + 3$;

в) $y = \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$;

г) $y = \cos x - 1$;

д) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3$.

а) $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$

Для построения графика функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика основной тригонометрической функции $y = \sin x$. Данная функция имеет вид $y = f(x-c)$, где $f(x) = \sin x$ и $c = \frac{\pi}{3}$. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси абсцисс (оси $Ox$). Поскольку $c = \frac{\pi}{3} > 0$, сдвиг выполняется вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$, нужно построить синусоиду $y = \sin x$ и затем сдвинуть ее вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Например, ключевые точки синусоиды сместятся следующим образом:

• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) $x=k\pi$ сместятся в точки $x = k\pi + \frac{\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, точка $(0,0)$ перейдет в $(\frac{\pi}{3}, 0)$, а $(\pi, 0)$ в $(\frac{4\pi}{3}, 0)$.
• Максимумы функции $y=1$ в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ сместятся в точки $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в $(\frac{5\pi}{6}, 1)$.
• Минимумы функции $y=-1$ в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ сместятся в точки $x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$. Например, точка $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в $(\frac{11\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin x$ вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

б) $y = \cos x + 3$

Для построения графика функции $y = \cos x + 3$ необходимо выполнить преобразование графика основной тригонометрической функции $y = \cos x$. Данная функция имеет вид $y = f(x) + d$, где $f(x) = \cos x$ и $d = 3$. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси ординат (оси $Oy$). Поскольку $d = 3 > 0$, сдвиг выполняется вверх на 3 единицы.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \cos x + 3$, нужно построить косинусоиду $y = \cos x$ и затем сдвинуть ее вверх вдоль оси $Oy$ на 3 единицы. При этом область значений функции изменится. Исходная область значений для $y = \cos x$ была $[-1, 1]$. Новая область значений будет $[-1+3, 1+3]$, то есть $[2, 4]$. Ключевые точки косинусоиды сместятся следующим образом:

• Максимумы функции $y=1$ в точках $x=2k\pi$ станут равны $y=1+3=4$. Например, точка $(0, 1)$ перейдет в $(0, 4)$.
• Минимумы функции $y=-1$ в точках $x=\pi+2k\pi$ станут равны $y=-1+3=2$. Например, точка $(\pi, -1)$ перейдет в $(\pi, 2)$.
• Точки пересечения с осью $Ox$ для $y=\cos x$ ($x=\frac{\pi}{2}+k\pi$) станут точками на линии $y=3$. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перейдет в $(\frac{\pi}{2}, 3)$.

Ответ: График функции $y = \cos x + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вверх вдоль оси $Oy$ на 3 единицы.

в) $y = \sin(x - \frac{2\pi}{3})$

Для построения графика функции $y = \sin(x - \frac{2\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \sin x$. Это преобразование вида $y = f(x-c)$, где $f(x) = \sin x$ и $c = \frac{2\pi}{3}$. Преобразование представляет собой сдвиг графика исходной функции вдоль оси абсцисс ($Ox$). Так как $c = \frac{2\pi}{3} > 0$, сдвиг происходит вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единиц.

Следовательно, для построения графика $y = \sin(x - \frac{2\pi}{3})$, мы строим график $y = \sin x$ и сдвигаем его вправо на $\frac{2\pi}{3}$. Ключевые точки смещаются:

• Нули функции ($x=k\pi$) смещаются в $x = k\pi + \frac{2\pi}{3}$. Точка $(0,0)$ переходит в $(\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Максимумы ($x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$) смещаются в $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{7\pi}{6}, 1)$.
• Минимумы ($x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$) смещаются в $x = \frac{3\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + 2k\pi = \frac{13\pi}{6} + 2k\pi$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{13\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \frac{2\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin x$ вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{2\pi}{3}$ единиц.

г) $y = \cos x - 1$

Для построения графика функции $y = \cos x - 1$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \cos x$. Это преобразование вида $y = f(x) + d$, где $f(x) = \cos x$ и $d = -1$. Преобразование представляет собой сдвиг графика исходной функции вдоль оси ординат ($Oy$). Так как $d = -1 < 0$, сдвиг происходит вниз на 1 единицу.

Следовательно, для построения графика $y = \cos x - 1$, мы строим график $y = \cos x$ и сдвигаем его вниз на 1 единицу. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-1, 1-1]$, то есть на $[-2, 0]$. Ключевые точки смещаются:

• Максимумы $y=1$ (в точках $x=2k\pi$) становятся точками, где $y=1-1=0$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(0, 0)$.
• Минимумы $y=-1$ (в точках $x=\pi+2k\pi$) становятся точками, где $y=-1-1=-2$. Например, точка $(\pi, -1)$ переходит в $(\pi, -2)$.
• Нули функции $y=\cos x$ (в точках $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$) становятся точками, где $y=0-1=-1$. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos x - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вниз вдоль оси $Oy$ на 1 единицу.

д) $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 3$

Для построения графика функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 3$ необходимо выполнить два последовательных преобразования графика функции $y = \sin x$. Функцию можно представить в виде $y = f(x-c) + d$, где $f(x) = \sin x$, $c = -\frac{\pi}{6}$ и $d = -3$.

1. Горизонтальный сдвиг: Преобразование $y = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ соответствует сдвигу графика $y = \sin x$ вдоль оси $Ox$. Так как $x + \frac{\pi}{6} = x - (-\frac{\pi}{6})$, то $c = -\frac{\pi}{6} < 0$. Сдвиг выполняется влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц.
2. Вертикальный сдвиг: Преобразование $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 3$ соответствует сдвигу графика, полученного на первом шаге, вдоль оси $Oy$. Так как $d = -3 < 0$, сдвиг выполняется вниз на 3 единицы.

Таким образом, для построения искомого графика нужно взять синусоиду $y = \sin x$, сдвинуть ее влево на $\frac{\pi}{6}$, а затем полученный график сдвинуть вниз на 3. Область значений изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-3, 1-3] = [-4, -2]$. Ключевые точки $y=\sin x$ смещаются следующим образом:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0-\frac{\pi}{6}, 0-3) = (-\frac{\pi}{6}, -3)$.
• Максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}, 1-3) = (\frac{\pi}{3}, -2)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в $(\pi-\frac{\pi}{6}, 0-3) = (\frac{5\pi}{6}, -3)$.
• Минимум в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6}, -1-3) = (\frac{4\pi}{3}, -4)$.

Ответ: График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin x$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц и затем вниз вдоль оси $Oy$ на 3 единицы.