Номер 326, страница 207 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

326. Выполните замену переменной и решите неравенство:

a) $\lg^2 x - 3\lg x + 2 \leq 0$;

б) $\log_2^2 x \geq 9$.

а) $lg^2 x - 3lgx + 2 \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x > 0$.

2. Выполним замену переменной. Пусть $t = lg x$. Исходное неравенство примет вид квадратного неравенства относительно переменной $t$:

$t^2 - 3t + 2 \le 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.
Графиком функции $y = t^2 - 3t + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 - 3t + 2 \le 0$ выполняется для значений $t$, заключенных между корнями, включая сами корни:

$1 \le t \le 2$

4. Выполним обратную замену, подставив $lg x$ вместо $t$:

$1 \le lg x \le 2$

5. Решим это двойное логарифмическое неравенство. Представим числа 1 и 2 в виде десятичных логарифмов: $1 = lg(10^1) = lg 10$, $2 = lg(10^2) = lg 100$.

$lg 10 \le lg x \le lg 100$

Так как основание десятичного логарифма (10) больше 1, логарифмическая функция $y = lg x$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенства сохраняются:

$10 \le x \le 100$

6. Полученное решение $x \in [10; 100]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [10; 100]$.

б) $log_2^2 x \ge 9$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

2. Выполним замену переменной. Пусть $t = log_2 x$. Неравенство примет вид:

$t^2 \ge 9$

3. Решим это неравенство:

$t^2 - 9 \ge 0$
$(t - 3)(t + 3) \ge 0$

Корнями уравнения $(t - 3)(t + 3) = 0$ являются $t_1 = -3$ и $t_2 = 3$. Графиком функции $y = t^2 - 9$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \le -3$ или $t \ge 3$.

4. Выполним обратную замену:

$log_2 x \le -3$ или $log_2 x \ge 3$.

5. Решим полученную совокупность двух логарифмических неравенств.

Для первого неравенства $log_2 x \le -3$:
$log_2 x \le log_2 (2^{-3})$
$log_2 x \le log_2 (\frac{1}{8})$
Так как основание логарифма (2) больше 1, функция $y = log_2 x$ возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x \le \frac{1}{8}$

Для второго неравенства $log_2 x \ge 3$:
$log_2 x \ge log_2 (2^3)$
$log_2 x \ge log_2 8$
Аналогично, знак неравенства сохраняется:
$x \ge 8$

6. Объединим полученные решения, учитывая ОДЗ ($x > 0$):

Из $x \le \frac{1}{8}$ и $x > 0$ получаем $0 < x \le \frac{1}{8}$.
Решение $x \ge 8$ также удовлетворяет ОДЗ.

Решением исходного неравенства является объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{8}] \cup [8; +\infty)$.