Номер 319, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

319. Найдите все значения переменной, при которых значение выражения $ \log_{25} \log_2 (8 - x) $ равно $ \frac{1}{2} $.

Для того чтобы найти значения переменной, при которых данное выражение равно $\frac{1}{2}$, необходимо решить уравнение:

$\log_{25}(\log_2(8 - x)) = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения требует учета области допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\log_b a$ определено, когда основание $b > 0$ и $b \neq 1$, а аргумент $a > 0$. В данном случае основания $25$ и $2$ удовлетворяют условиям.

Найдем ОДЗ для аргументов логарифмов:

1. Аргумент внутреннего логарифма должен быть положительным:

$8 - x > 0$

$x < 8$

2. Аргумент внешнего логарифма также должен быть положительным:

$\log_2(8 - x) > 0$

Поскольку $0 = \log_2(1)$, неравенство можно переписать в виде:

$\log_2(8 - x) > \log_2(1)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что для аргументов сохраняется тот же знак неравенства:

$8 - x > 1$

$7 > x$ или $x < 7$

Объединяя оба условия ($x < 8$ и $x < 7$), получаем общую область допустимых значений: $x < 7$.

Теперь решим исходное уравнение. По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к внешнему логарифму:

$\log_2(8 - x) = 25^{\frac{1}{2}}$

Вычислим правую часть уравнения:

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Теперь уравнение выглядит так:

$\log_2(8 - x) = 5$

Снова применяем определение логарифма:

$8 - x = 2^5$

Вычисляем степень:

$2^5 = 32$

Получаем линейное уравнение:

$8 - x = 32$

Решаем его относительно $x$:

$-x = 32 - 8$

$-x = 24$

$x = -24$

Последний шаг — проверка, соответствует ли найденное значение ОДЗ ($x < 7$).

Поскольку $-24 < 7$, найденное значение $x = -24$ является решением.

Ответ: $-24$.