Номер 314, страница 205 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

314. Решите неравенство:

a) $3^{x+2} - 3^x > 72;$

б) $5^{x+2} - 4 \cdot 5^{x+1} + 4 \cdot 5^{x-1} \le 29.$

а) $3^{x+2} - 3^x > 72$

Для решения данного показательного неравенства преобразуем его левую часть. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^x \cdot 3^2 - 3^x > 72$
$9 \cdot 3^x - 3^x > 72$
Теперь вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(9 - 1) > 72$
$8 \cdot 3^x > 72$
Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 - положительное число, знак неравенства не изменится:
$3^x > \frac{72}{8}$
$3^x > 9$
Представим число 9 в виде степени с основанием 3:
$3^x > 3^2$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства:
$x > 2$
Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$

б) $5^{x+2} - 4 \cdot 5^{x+1} + 4 \cdot 5^{x-1} \le 29$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$:
$5^x \cdot 5^2 - 4 \cdot (5^x \cdot 5^1) + 4 \cdot (5^x \cdot 5^{-1}) \le 29$
$25 \cdot 5^x - 4 \cdot 5 \cdot 5^x + 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^x \le 29$
$25 \cdot 5^x - 20 \cdot 5^x + \frac{4}{5} \cdot 5^x \le 29$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(25 - 20 + \frac{4}{5}) \le 29$
Выполним действия в скобках:
$5^x(5 + \frac{4}{5}) \le 29$
$5^x(\frac{25}{5} + \frac{4}{5}) \le 29$
$5^x \cdot \frac{29}{5} \le 29$
Разделим обе части неравенства на 29. Так как 29 - положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{5^x}{5} \le 1$
$5^{x-1} \le 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 5:
$5^{x-1} \le 5^0$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства:
$x - 1 \le 0$
$x \le 1$
Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1]$