Номер 317, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

317. Решите уравнение:

a) $log_2(4x - 8) = log_2(3x - 5);$

б) $log_7(x^2 - 9) = log_7(9 - 2x) + 1.$

Дано логарифмическое уравнение $\log_2(4x - 8) = \log_2(3x - 5)$.

Первым шагом найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмических функций должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 4x - 8 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} 4x > 8 \\ 3x > 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{5}{3} \end{cases}$

Поскольку $2 > \frac{5}{3}$, общим решением системы является неравенство $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

Так как основания логарифмов в левой и правой частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их аргументы (потенцировать уравнение):

$4x - 8 = 3x - 5$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$4x - 3x = 8 - 5$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = 3$ условию ОДЗ. Так как $3 > 2$, корень принадлежит области допустимых значений и является решением уравнения.

Ответ: 3

Дано уравнение $\log_7(x^2 - 9) = \log_7(9 - 2x) + 1$.

Найдем ОДЗ, составив систему неравенств из условия положительности аргументов логарифмов:

$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ 9 - 2x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $x^2 - 9 > 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) > 0$. Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2) $9 - 2x > 0 \Rightarrow 9 > 2x \Rightarrow x < 4.5$. Решением является интервал $x \in (-\infty; 4.5)$.

Найдем пересечение этих решений, чтобы определить ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; 4.5)$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Представим число 1 в виде логарифма по основанию 7: $1 = \log_7 7$.

$\log_7(x^2 - 9) = \log_7(9 - 2x) + \log_7 7$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ для правой части уравнения:

$\log_7(x^2 - 9) = \log_7(7(9 - 2x))$

Теперь, когда основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$x^2 - 9 = 7(9 - 2x)$

$x^2 - 9 = 63 - 14x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 14x - 9 - 63 = 0$

$x^2 + 14x - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 196 + 288 = 484 = 22^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 22}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 22}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in (-\infty; -3) \cup (3; 4.5)$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $3 < 4 < 4.5$.

Корень $x_2 = -18$ удовлетворяет условию, так как $-18 < -3$.

Оба корня входят в ОДЗ, следовательно, оба являются решениями уравнения.

Ответ: -18; 4