Номер 323, страница 207 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

323. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 5, \\ \log_3 x - \log_3 y = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 5, \\ \log_3 x - \log_3 y = 7. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Данная система является линейной относительно $\log_3 x$ и $\log_3 y$. Для ее решения удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения: $$(\log_3 x + \log_3 y) + (\log_3 x - \log_3 y) = 5 + 7$$ $$2\log_3 x = 12$$ Разделим обе части на 2: $$\log_3 x = 6$$ Из определения логарифма следует: $$x = 3^6 = 729$$

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $$(\log_3 x + \log_3 y) - (\log_3 x - \log_3 y) = 5 - 7$$ $$2\log_3 y = -2$$ Разделим обе части на 2: $$\log_3 y = -1$$ Из определения логарифма следует: $$y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения ОДЗ. Так как $x = 729 > 0$ и $y = \frac{1}{3} > 0$, то решение является верным.

Ответ: $(729; \frac{1}{3})$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$: $$\lg\left(\frac{x}{y}\right) = 2$$ По определению десятичного логарифма ($\lg a$ это $\log_{10} a$): $$\frac{x}{y} = 10^2$$ $$\frac{x}{y} = 100$$ Отсюда выразим $x$ через $y$: $$x = 100y$$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$100y - 10y = 900$$ $$90y = 900$$ $$y = \frac{900}{90}$$ $$y = 10$$

Найдем соответствующее значение $x$, подставив значение $y$ в выражение $x=100y$: $$x = 100 \cdot 10 = 1000$$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения ОДЗ. Так как $x = 1000 > 0$ и $y = 10 > 0$, то решение является верным.

Ответ: $(1000; 10)$.