Номер 320, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

320. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

а) $\lg^2 x - 2\lg x - 3 = 0;$

б) $\log^2_3 x - 4\log_3 x + 3 = 0;$

в) $3\log^2_{27} x + 5\log_{27} x - 2 = 0;$

г) $\lg^2 x + 10\lg x - 11 = 0.$

а) Исходное уравнение: $\lg^2 x - 2\lg x - 3 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Теперь выполним обратную замену:

1) $\lg x = 3 \Rightarrow x = 10^3 = 1000$.

2) $\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $0.1; 1000$.

б) Исходное уравнение: $\log_3^2 x - 4\log_3 x + 3 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_3 x$. Уравнение сводится к квадратному:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения:

$t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3^1 = 3$.

2) $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; 27$.

в) Исходное уравнение: $3\log_{27}^2 x + 5\log_{27} x - 2 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{27} x$. Получаем квадратное уравнение:

$3t^2 + 5t - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_{27} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$.

2) $\log_{27} x = -2 \Rightarrow x = 27^{-2} = \frac{1}{27^2} = \frac{1}{729}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{729}; 3$.

г) Исходное уравнение: $\lg^2 x + 10\lg x - 11 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 10t - 11 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения:

$t_1 = 1$, $t_2 = -11$.

Выполним обратную замену:

1) $\lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10$.

2) $\lg x = -11 \Rightarrow x = 10^{-11}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^{-11}; 10$.