Номер 313, страница 205 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

313. Найдите область определения функции $y = \sqrt[4]{0.25^x - 4 \cdot 0.5^x}$.

Область определения функции $y = \sqrt[4]{0,25^x - 4 \cdot 0,5^x}$ задается условием, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить следующее неравенство:

$0,25^x - 4 \cdot 0,5^x \ge 0$

Для решения этого показательного неравенства приведем степени к одному основанию. Мы знаем, что $0,25 = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 = (0,5)^2$. Тогда $0,25^x = ((0,5)^2)^x = (0,5)^{2x}$. Подставим это выражение в неравенство:

$(0,5)^{2x} - 4 \cdot (0,5)^x \ge 0$

Введем новую переменную для упрощения. Пусть $t = (0,5)^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$. С учетом замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 4t \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$t(t - 4) \ge 0$

Найдем корни уравнения $t(t-4)=0$. Это $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $t^2 - 4t \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t \le 0$ или $t \ge 4$.

Совместим это решение с условием $t > 0$. Из двух промежутков $t \le 0$ и $t \ge 4$ нам подходит только второй:

$t \ge 4$

Теперь выполним обратную замену, подставив $(0,5)^x$ вместо $t$:

$(0,5)^x \ge 4$

Чтобы решить это неравенство, приведем обе его части к степени с одинаковым основанием, например, к основанию 2. Имеем $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$. Неравенство преобразуется к виду:

$(2^{-1})^x \ge 2^2$

$2^{-x} \ge 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^z$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$-x \ge 2$

Наконец, умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \le -2$

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, которые не превышают $-2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.