Номер 215, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

215. Найдите все корни уравнения $ \cos 2x + \sin^2 x = \cos x $, принадлежащие отрезку $ [-\pi; \pi] $.

Исходное уравнение: $\cos(2x) + \sin^2(x) = \cos(x)$.

Для решения уравнения приведем все его члены к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\cos^2(x) - \sin^2(x)) + \sin^2(x) = \cos(x)$

Упростим полученное выражение, сократив $\sin^2(x)$:
$\cos^2(x) = \cos(x)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\cos(x)$ за скобки:
$\cos^2(x) - \cos(x) = 0$
$\cos(x)(\cos(x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два отдельных уравнения:
1) $\cos(x) = 0$
2) $\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = 1$

Найдем общие решения для каждого из этих уравнений:
- Для $\cos(x) = 0$ решениями является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Для $\cos(x) = 1$ решениями является серия корней $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному отрезку $[-\pi; \pi]$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, найдем подходящие целые значения $n$ с помощью двойного неравенства:
$-\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \pi$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-1 \le \frac{1}{2} + n \le 1$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:
$-1.5 \le n \le 0.5$
Целые числа $n$, удовлетворяющие этому условию: $n = -1$ и $n = 0$.
- При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
- При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(0) = \frac{\pi}{2}$.

Для второй серии корней $x = 2\pi k$, найдем подходящие целые значения $k$:
$-\pi \le 2\pi k \le \pi$
Разделим все части неравенства на $2\pi$:
$-\frac{1}{2} \le k \le \frac{1}{2}$
Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию: $k = 0$.
- При $k = 0$: $x = 2\pi(0) = 0$.

Объединив найденные значения, получаем все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}$.