Номер 210, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

210. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

а) $y = \sin^2 x$ и прямой $y = \frac{3}{4}$;

б) $y = \cot^2 x$ и прямой $y = 1$.

а)

Для нахождения абсцисс точек пересечения графика функции $y = \sin^2 x$ и прямой $y = \frac{3}{4}$ необходимо решить уравнение:

$\sin^2 x = \frac{3}{4}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ и подставим ее в уравнение:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

Домножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(1 - \cos(2x)) = 3$

$2 - 2\cos(2x) = 3$

$-2\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Решение этого тригонометрического уравнения для аргумента $2x$ имеет вид:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Для нахождения абсцисс точек пересечения графика функции $y = \operatorname{ctg}^2 x$ и прямой $y = 1$ необходимо решить уравнение:

$\operatorname{ctg}^2 x = 1$

Используя определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, перепишем уравнение:

$\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = 1$

Отсюда, при условии $\sin x \neq 0$ (которое выполняется, так как котангенс в исходном уравнении определен), получаем:

$\cos^2 x = \sin^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\cos^2 x - \sin^2 x = 0$

Левая часть уравнения является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение для аргумента $2x$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.