Номер 209, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

209. Решите уравнение, используя метод разложения на множители:

а) $3\sin x - \cos^2 x \sin x = 0;$

б) $\sqrt{2}\cos 5x = 2\sin x \cos 5x.$

а) $3\sin x - \cos^2 x \sin x = 0$

Для решения данного уравнения методом разложения на множители вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (3 - \cos^2 x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения имеют вид:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

2) $3 - \cos^2 x = 0$

Выразим из этого уравнения $\cos^2 x$:

$\cos^2 x = 3$

Отсюда следует, что $\cos x = \pm\sqrt{3}$.

Так как область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$, а $|\pm\sqrt{3}| \approx 1.732 > 1$, то данное уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2}\cos 5x = 2\sin x \cos 5x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$\sqrt{2}\cos 5x - 2\sin x \cos 5x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 5x$ за скобки:

$\cos 5x (\sqrt{2} - 2\sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos 5x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения находятся по формуле:

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделив обе части на 5, получим первую серию решений:

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2} - 2\sin x = 0$

Выразим из этого уравнения $\sin x$:

$2\sin x = \sqrt{2}$

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения записываются общей формулой:

$x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi m$

Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, то получаем вторую серию решений:

$x = (-1)^m \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя обе серии решений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, x = (-1)^m \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.