Номер 206, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

206. Найдите нули функции:

а) $y = \sin(2x - \frac{\pi}{4});$

б) $y = \text{ctg}5x - \sqrt{3}.$

а) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{4})$, нужно решить уравнение:

$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = 0$

Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, приравниваем аргумент синуса к $\pi n$:

$2x - \frac{\pi}{4} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) Чтобы найти нули функции $y = \operatorname{ctg}5x - \sqrt{3}$, приравняем ее к нулю:

$\operatorname{ctg}5x - \sqrt{3} = 0$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:

$\operatorname{ctg}5x = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения $\operatorname{ctg}t = a$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 5x$ и $a = \sqrt{3}$. Значение арккотангенса от $\sqrt{3}$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в общую формулу:

$5x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$

$x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$.