Номер 202, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

202. Решите систему уравнений $\begin{cases} xy - x^2 = 1 \\ y + 4x = 6 \end{cases}$ и найдите значение выражения $x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1$, если $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — решения системы уравнений.

Верно ли, что пара чисел (1; 2) является решением данной системы?

Сколько решений имеет данная система уравнений?

Верно ли, что данная система равносильна системе $\begin{cases} 2x - y = 0 \\ x + 5y = 11 \end{cases}$?

Решите систему уравнений $\begin{cases} xy - x^2 = 1, \\ y + 4x = 6 \end{cases}$ и найдите значение выражения $x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1$, если $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — решения системы уравнений.

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x:

$y + 4x = 6 \implies y = 6 - 4x$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x(6 - 4x) - x^2 = 1$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$6x - 4x^2 - x^2 = 1$

$-5x^2 + 6x - 1 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на -1:

$5x^2 - 6x + 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня, используя формулу $y = 6 - 4x$.

Для $x_1 = \frac{1}{5}$:

$y_1 = 6 - 4 \left(\frac{1}{5}\right) = 6 - \frac{4}{5} = \frac{30}{5} - \frac{4}{5} = \frac{26}{5}$

Для $x_2 = 1$:

$y_2 = 6 - 4(1) = 2$

Таким образом, система имеет два решения: $(\frac{1}{5}; \frac{26}{5})$ и $(1; 2)$.

Теперь найдем значение выражения $x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1$. Неважно, какую пару мы обозначим как первую, а какую — второй, результат будет одинаковым. Пусть $(x_1; y_1) = (\frac{1}{5}; \frac{26}{5})$ и $(x_2; y_2) = (1; 2)$.

$x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1 = \frac{1}{5} \cdot 2 + 1 \cdot \frac{26}{5} = \frac{2}{5} + \frac{26}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$

Ответ: решения системы: $(\frac{1}{5}; \frac{26}{5})$ и $(1; 2)$. Значение выражения равно $\frac{28}{5}$ (или 5.6).

Верно ли, что пара чисел (1; 2) является решением данной системы?

Чтобы проверить это утверждение, подставим значения $x=1$ и $y=2$ в оба уравнения исходной системы.

Первое уравнение: $xy - x^2 = 1 \implies 1 \cdot 2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Второе уравнение: $y + 4x = 6 \implies 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 4 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Так как пара чисел (1; 2) удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

Ответ: да, верно.

Сколько решений имеет данная система уравнений?

В ходе решения системы мы пришли к квадратному уравнению $5x^2 - 6x + 1 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D=16$, что больше нуля. Положительный дискриминант указывает на наличие двух различных действительных корней для переменной x. Каждому из этих значений x соответствует единственное значение y. Следовательно, система имеет два различных решения.

Ответ: данная система имеет два решения.

Верно ли, что данная система равносильна системе $\begin{cases} 2x - y = 0, \\ x + 5y = 11 \end{cases}$?

Две системы называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Мы уже установили, что первая система имеет два решения: $\{(\frac{1}{5}; \frac{26}{5}), (1; 2)\}$.

Теперь решим вторую систему:

$ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ x + 5y = 11 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим y: $y = 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 5(2x) = 11$

$x + 10x = 11$

$11x = 11 \implies x = 1$

Найдем y: $y = 2x = 2 \cdot 1 = 2$.

Вторая система имеет только одно решение: $(1; 2)$.

Множество решений первой системы $\{(\frac{1}{5}; \frac{26}{5}), (1; 2)\}$ не совпадает с множеством решений второй системы $\{(1; 2)\}$. Поэтому системы не являются равносильными.

Ответ: нет, неверно.