Номер 196, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

196. Представьте в виде произведения сумму $4^{x-1} - 2^{2x} + 4^{x+3}$.

Для того чтобы представить сумму $4^{x-1} - 2^{2x} + 4^{x+3}$ в виде произведения, необходимо привести все слагаемые к общему основанию и вынести общий множитель за скобки. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Приведение к основанию 2

1. Запишем все степени с основанием 2, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$. Поскольку $4 = 2^2$, имеем:

$4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2}$

$4^{x+3} = (2^2)^{x+3} = 2^{2(x+3)} = 2^{2x+6}$

Средний член $2^{2x}$ уже имеет основание 2.

2. Подставим преобразованные выражения в исходную сумму:

$2^{2x-2} - 2^{2x} + 2^{2x+6}$

3. Вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, в данном случае это $2^{2x-2}$.

$2^{2x-2} \cdot (1 - \frac{2^{2x}}{2^{2x-2}} + \frac{2^{2x+6}}{2^{2x-2}})$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим выражение в скобках:

$2^{2x-2} \cdot (1 - 2^{2x - (2x-2)} + 2^{2x+6 - (2x-2)})$

$2^{2x-2} \cdot (1 - 2^{2x - 2x + 2} + 2^{2x+6 - 2x + 2})$

$2^{2x-2} \cdot (1 - 2^2 + 2^8)$

4. Вычислим значение в скобках:

$1 - 4 + 256 = 253$

5. Таким образом, итоговое произведение равно:

$253 \cdot 2^{2x-2}$

Способ 2: Приведение к основанию 4

1. Запишем все степени с основанием 4. Заметим, что $2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.

2. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для остальных слагаемых:

$4^{x-1} = 4^x \cdot 4^{-1} = \frac{4^x}{4}$

$4^{x+3} = 4^x \cdot 4^3 = 64 \cdot 4^x$

3. Подставим преобразованные выражения в исходную сумму:

$\frac{4^x}{4} - 4^x + 64 \cdot 4^x$

4. Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x \cdot (\frac{1}{4} - 1 + 64)$

5. Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{4} - 1 + 64 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} + \frac{256}{4} = \frac{1 - 4 + 256}{4} = \frac{253}{4}$

6. Запишем полученное произведение:

$4^x \cdot \frac{253}{4} = 253 \cdot \frac{4^x}{4^1} = 253 \cdot 4^{x-1}$

Оба способа приводят к эквивалентным результатам, так как $2^{2x-2} = 2^{2(x-1)} = (2^2)^{x-1} = 4^{x-1}$.

Ответ: $253 \cdot 4^{x-1}$