Номер 193, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

193. Примените формулы сокращенного умножения и упростите вы-ражение:

a) $(a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}}) + 9b;$

б) $(b^{\frac{1}{4}} - 2b^{\frac{5}{2}})^2 - \sqrt{b} - 4b^5.$

а) Дано выражение $(a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}}) + 9b$.
Первая часть выражения, $(a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}})$, является произведением суммы и разности двух слагаемых. Для его упрощения применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 3b^{\frac{1}{2}}$.
Применяя формулу, получаем:
$(a^{\frac{1}{2}})^2 - (3b^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^2 \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 - 9b^1 = a - 9b$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(a - 9b) + 9b$.
Сокращаем противоположные слагаемые $-9b$ и $+9b$:
$a - 9b + 9b = a$.
Ответ: $a$.

б) Дано выражение $(b^{\frac{1}{4}} - 2b^{\frac{5}{2}})^2 - \sqrt{b} - 4b^5$.
Первый член, $(b^{\frac{1}{4}} - 2b^{\frac{5}{2}})^2$, является квадратом разности. Применим формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = b^{\frac{1}{4}}$ и $y = 2b^{\frac{5}{2}}$.
Раскроем скобки по формуле:
$(b^{\frac{1}{4}} - 2b^{\frac{5}{2}})^2 = (b^{\frac{1}{4}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot 2b^{\frac{5}{2}} + (2b^{\frac{5}{2}})^2$.
Теперь упростим каждый член полученного выражения:
1. $(b^{\frac{1}{4}})^2 = b^{\frac{1}{4} \cdot 2} = b^{\frac{2}{4}} = b^{\frac{1}{2}}$.
2. $2 \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot 2b^{\frac{5}{2}} = 4 \cdot b^{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = 4 \cdot b^{\frac{1}{4} + \frac{10}{4}} = 4b^{\frac{11}{4}}$.
3. $(2b^{\frac{5}{2}})^2 = 2^2 \cdot (b^{\frac{5}{2}})^2 = 4 \cdot b^{\frac{5}{2} \cdot 2} = 4b^5$.
Таким образом, $(b^{\frac{1}{4}} - 2b^{\frac{5}{2}})^2 = b^{\frac{1}{2}} - 4b^{\frac{11}{4}} + 4b^5$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$(b^{\frac{1}{2}} - 4b^{\frac{11}{4}} + 4b^5) - \sqrt{b} - 4b^5$.
Зная, что $b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}$, перепишем выражение:
$\sqrt{b} - 4b^{\frac{11}{4}} + 4b^5 - \sqrt{b} - 4b^5$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(\sqrt{b} - \sqrt{b}) + (4b^5 - 4b^5) - 4b^{\frac{11}{4}} = 0 + 0 - 4b^{\frac{11}{4}} = -4b^{\frac{11}{4}}$.
Ответ: $-4b^{\frac{11}{4}}$.