Номер 186, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

186. Найдите все значения переменной, при которых имеет смысл выражение:

а) $arcsin(a + 3)$;

б) $arccos(1 - 2a)$;

в) $arctg(3a + 4)$;

г) $arcctg(a^2 - 7)$.

Чтобы найти значения переменной, при которых выражение имеет смысл, необходимо найти область определения (допустимые значения аргумента) для каждой функции.

а) Выражение $ \arcsin(a + 3) $ имеет смысл, когда его аргумент принадлежит отрезку $ [-1; 1] $. Это связано с тем, что область определения функции арксинус, $ y = \arcsin(x) $, есть множество $ D(y) = [-1; 1] $.

Таким образом, мы должны решить двойное неравенство:

$ -1 \le a + 3 \le 1 $

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$ -1 - 3 \le a + 3 - 3 \le 1 - 3 $

$ -4 \le a \le -2 $

Следовательно, переменная $a$ должна принадлежать отрезку $ [-4; -2] $.

Ответ: $ a \in [-4; -2] $.

б) Выражение $ \arccos(1 - 2a) $ имеет смысл, когда его аргумент принадлежит отрезку $ [-1; 1] $. Область определения функции арккосинус, $ y = \arccos(x) $, есть множество $ D(y) = [-1; 1] $.

Составим и решим двойное неравенство:

$ -1 \le 1 - 2a \le 1 $

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$ -1 - 1 \le 1 - 2a - 1 \le 1 - 1 $

$ -2 \le -2a \le 0 $

Разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ \frac{-2}{-2} \ge \frac{-2a}{-2} \ge \frac{0}{-2} $

$ 1 \ge a \ge 0 $

Запишем в привычном виде:

$ 0 \le a \le 1 $

Следовательно, переменная $a$ должна принадлежать отрезку $ [0; 1] $.

Ответ: $ a \in [0; 1] $.

в) Выражение $ \operatorname{arctg}(3a + 4) $ имеет смысл для любых значений своего аргумента. Область определения функции арктангенс, $ y = \operatorname{arctg}(x) $, есть множество всех действительных чисел $ D(y) = (-\infty; +\infty) $.

Выражение $ 3a + 4 $ определено для любого действительного числа $ a $.

Таким образом, выражение $ \operatorname{arctg}(3a + 4) $ имеет смысл при любых значениях переменной $ a $.

Ответ: $ a $ — любое действительное число, или $ a \in (-\infty; +\infty) $.

г) Выражение $ \operatorname{arcctg}(a^2 - 7) $ имеет смысл для любых значений своего аргумента. Область определения функции арккотангенс, $ y = \operatorname{arcctg}(x) $, есть множество всех действительных чисел $ D(y) = (-\infty; +\infty) $.

Выражение $ a^2 - 7 $ определено для любого действительного числа $ a $.

Таким образом, выражение $ \operatorname{arcctg}(a^2 - 7) $ имеет смысл при любых значениях переменной $ a $.

Ответ: $ a $ — любое действительное число, или $ a \in (-\infty; +\infty) $.