Номер 182, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

182. Упростите выражение:

a) $4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha;$

б) $\cos^2 4\alpha - 4\cos^2 2\alpha \sin^2 2\alpha.$

а)

Упростим выражение $4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha$.

Для упрощения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Сгруппируем множители в исходном выражении следующим образом: $2 \cdot (2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}) \cdot \cos\alpha$.

Применим формулу синуса двойного угла к выражению в скобках, где $x = \frac{\alpha}{2}$:
$2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \sin\alpha$.

Теперь подставим полученный результат обратно:
$2 \cdot (\sin\alpha) \cdot \cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу синуса двойного угла, но на этот раз для аргумента $\alpha$:
$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.

Ответ: $\sin(2\alpha)$.

б)

Упростим выражение $\cos^2 4\alpha - 4\cos^2 2\alpha \sin^2 2\alpha$.

Рассмотрим вторую часть выражения, $4\cos^2 2\alpha \sin^2 2\alpha$. Ее можно представить в виде квадрата:
$4\cos^2 2\alpha \sin^2 2\alpha = (2\sin 2\alpha \cos 2\alpha)^2$.

Выражение в скобках соответствует формуле синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, где $x = 2\alpha$:
$2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin(4\alpha)$.

Следовательно, $(2\sin 2\alpha \cos 2\alpha)^2 = (\sin 4\alpha)^2 = \sin^2 4\alpha$.

Подставим это преобразование в исходное выражение:
$\cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha$.

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла $\cos(2y) = \cos^2 y - \sin^2 y$, где $y = 4\alpha$:
$\cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha = \cos(2 \cdot 4\alpha) = \cos(8\alpha)$.

Ответ: $\cos(8\alpha)$.