Номер 179, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

179. С помощью формул двойного угла преобразуйте в синус, косинус или тангенс некоторого угла выражение:

а)

Исходное выражение: $ \cos^2{7\alpha} - \sin^2{7\alpha} $.

Для преобразования воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $.

В данном выражении в качестве аргумента $ x $ выступает угол $ 7\alpha $.

Подставим $ x = 7\alpha $ в формулу:

$ \cos^2{7\alpha} - \sin^2{7\alpha} = \cos(2 \cdot 7\alpha) = \cos(14\alpha) $.

Таким образом, выражение преобразуется в косинус угла $ 14\alpha $.

Ответ: $ \cos(14\alpha) $

б)

Исходное выражение: $ 2\sin{\frac{\alpha}{8}}\cos{\frac{\alpha}{8}} $.

Это выражение соответствует правой части формулы синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.

Здесь в качестве аргумента $ x $ выступает угол $ \frac{\alpha}{8} $.

Применим формулу, подставив $ x = \frac{\alpha}{8} $:

$ 2\sin{\frac{\alpha}{8}}\cos{\frac{\alpha}{8}} = \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha}{8}\right) = \sin\left(\frac{2\alpha}{8}\right) = \sin\left(\frac{\alpha}{4}\right) $.

Следовательно, выражение равно синусу угла $ \frac{\alpha}{4} $.

Ответ: $ \sin\left(\frac{\alpha}{4}\right) $

в)

Исходное выражение: $ \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} $.

Для преобразования используем формулу тангенса двойного угла: $ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}(x)}{1 - \operatorname{tg}^2(x)} $.

В данном случае аргумент $ x $ равен $ \frac{\alpha}{2} $.

Подставим $ x = \frac{\alpha}{2} $ в формулу:

$ \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \operatorname{tg}\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \operatorname{tg}(\alpha) $.

В результате преобразования получаем тангенс угла $ \alpha $.

Ответ: $ \operatorname{tg}(\alpha) $