Номер 178, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

178. Докажите тождество

$\frac{\sqrt{3}\sin\alpha + 2\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \sqrt{3}\cos\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

А также известными значениями тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Преобразуем числитель дроби. Раскроем $\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)$ по формуле косинуса суммы:

$\sqrt{3}\sin\alpha + 2\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha) = \sqrt{3}\sin\alpha + 2(\cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha)$

Подставим значения $\cos(\frac{\pi}{3})$ и $\sin(\frac{\pi}{3})$:

$\sqrt{3}\sin\alpha + 2(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha$.

Теперь преобразуем знаменатель дроби. Раскроем $\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)$ по формуле синуса суммы:

$2\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha$

Подставим значения $\sin(\frac{\pi}{3})$ и $\cos(\frac{\pi}{3})$:

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = \sin\alpha$.

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть исходного тождества:

$\frac{\sqrt{3}\sin\alpha + 2\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)}{2\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

По определению котангенса, $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $\text{ctg}\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.