Номер 180, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

180. Упростите выражение:

а) $2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$;

б) $\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+\alpha\right)-\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+\alpha\right).$

а) $2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.

В нашем случае, аргумент $ x = \frac{\pi}{4} - \alpha $.

Применим формулу:

$ 2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(2 \cdot (\frac{\pi}{4} - \alpha)) $

Теперь упростим выражение в аргументе синуса:

$ \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4} - 2 \cdot \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) $

Используя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos(y) $, где $ y = 2\alpha $, получаем:

$ \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos(2\alpha) $

Ответ: $ \cos(2\alpha) $

б) $ \sin^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha) - \cos^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha) $

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $.

Вынесем минус за скобки, чтобы привести наше выражение к виду формулы:

$ \sin^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha) - \cos^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha) = -(\cos^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha) - \sin^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha)) $

В данном случае, аргумент $ x = \frac{3\pi}{4} + \alpha $.

Применяя формулу косинуса двойного угла, получаем:

$ -(\cos^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha) - \sin^2(\frac{3\pi}{4} + \alpha)) = -\cos(2 \cdot (\frac{3\pi}{4} + \alpha)) $

Упростим аргумент косинуса:

$ -\cos(2 \cdot \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \alpha) = -\cos(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) $

Используя формулу приведения $ \cos(\frac{3\pi}{2} + y) = \sin(y) $, где $ y = 2\alpha $, получаем:

$ -\cos(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = -\sin(2\alpha) $

Ответ: $ -\sin(2\alpha) $