Номер 185, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

185. Упростите выражение $(\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos2\alpha}) \cdot \frac{\cos\alpha - \cos7\alpha}{\sin\alpha}$

Упростим данное выражение. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:$$ \left(\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos2\alpha}\right) = \frac{\sin\alpha \cos2\alpha - \cos\alpha \sin2\alpha}{\sin2\alpha \cos2\alpha} $$Числитель полученной дроби соответствует формуле синуса разности углов $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. Применив ее, получаем:$$ \sin\alpha \cos2\alpha - \cos\alpha \sin2\alpha = \sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $$Таким образом, выражение в скобках упрощается до:$$ \frac{-\sin\alpha}{\sin2\alpha \cos2\alpha} $$

Теперь рассмотрим второй множитель $\frac{\cos\alpha - \cos7\alpha}{\sin\alpha}$. Преобразуем его числитель, используя формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:$$ \cos\alpha - \cos7\alpha = -2\sin\left(\frac{\alpha+7\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-7\alpha}{2}\right) = -2\sin(4\alpha)\sin(-3\alpha) $$Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-3\alpha) = -\sin(3\alpha)$, то числитель равен $2\sin(4\alpha)\sin(3\alpha)$. Второй множитель принимает вид:$$ \frac{2\sin(4\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin\alpha} $$

Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:$$ \left(\frac{-\sin\alpha}{\sin2\alpha \cos2\alpha}\right) \cdot \left(\frac{2\sin(4\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin\alpha}\right) $$Воспользуемся формулой синуса двойного угла для $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$ и подставим в выражение:$$ \frac{-\sin\alpha \cdot 2 \cdot (2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)) \cdot \sin(3\alpha)}{(\sin2\alpha \cos2\alpha) \cdot \sin\alpha} $$Сократив общие множители $\sin\alpha$ и $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю), получим конечный результат:$$ -1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(3\alpha) = -4\sin(3\alpha) $$

Ответ: $-4\sin(3\alpha)$