Номер 184, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

184. Докажите тождество $\frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha}{\cos\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов.

Формула суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Формула суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби в левой части тождества, приняв $x=3\alpha$ и $y=\alpha$.

Преобразуем числитель:

$ \sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ \cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha $

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в левую часть тождества:

$ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \frac{2\sin2\alpha\cos\alpha}{2\cos2\alpha\cos\alpha} $

Сократим общие множители $2$ и $\cos\alpha$. Это возможно при условии, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\cos2\alpha \neq 0$, что соответствует области допустимых значений для выражения $\tan2\alpha$.

$ \frac{2\sin2\alpha\cos\alpha}{2\cos2\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} $

По определению тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно:

$ \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tan2\alpha $

Мы показали, что левая часть тождества равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \tan2\alpha $ доказано.