Номер 181, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

181. Докажите тождество $\frac{1 - \sin 2\alpha}{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2} = 1$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Цель — показать, что она равна 1.

Исходное выражение в левой части:

$\frac{1 - \sin(2\alpha)}{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}$

Преобразуем числитель дроби, $1 - \sin(2\alpha)$. Для этого воспользуемся двумя известными тригонометрическими формулами:

1. Основное тригонометрическое тождество: $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.

2. Формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим эти формулы в числитель:

$1 - \sin(2\alpha) = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha$

Переставим слагаемые, чтобы получить знакомую формулу:

$\cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha$

Это выражение является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \cos\alpha$ и $b = \sin\alpha$. Следовательно, числитель можно свернуть:

$(\cos\alpha - \sin\alpha)^2$

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в исходную дробь:

$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}$

Данное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю, то есть при $(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 \neq 0$, что эквивалентно $\cos\alpha \neq \sin\alpha$. В области допустимых значений мы можем сократить числитель и знаменатель:

$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2} = 1$

Мы показали, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.