Номер 176, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

176. С помощью формул сложения упростите выражение:

a) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \cos\alpha - \sin\alpha$.

а) $sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) - sin(\alpha - \frac{\pi}{6})$

Для упрощения этого выражения мы используем формулы сложения для синуса: формулу синуса суммы и синуса разности.

Формула синуса суммы: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

Формула синуса разности: $sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

Применим эти формулы к нашему выражению, где $x=\alpha$ и $y=\frac{\pi}{6}$:

$sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) + cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6})$

$sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) - cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6})$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) + cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6})) - (sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) - cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6}))$

Раскрываем скобки и меняем знаки у членов во второй скобке:

$sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) + cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6}) - sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) + cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6})$

Сокращаем подобные члены. $sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6})$ и $-sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6})$ взаимно уничтожаются.

Остается: $cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6}) + cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6}) = 2cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем табличное значение $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставляем его в выражение:

$2cos(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = cos(\alpha)$

Ответ: $cos(\alpha)$

б) $\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) - cos\alpha - sin\alpha$

Для упрощения этого выражения мы используем формулу косинуса разности.

Формула косинуса разности: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

Применим эту формулу к члену $cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$, где $x=\frac{\pi}{4}$ и $y=\alpha$:

$cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)$

Мы знаем табличные значения $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения:

$cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha)) - cos\alpha - sin\alpha$

Раскроем скобки, умножив каждый член внутри на $\sqrt{2}$:

$(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})cos(\alpha) + (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})sin(\alpha) - cos\alpha - sin\alpha$

$\frac{2}{2}cos(\alpha) + \frac{2}{2}sin(\alpha) - cos\alpha - sin\alpha$

$cos(\alpha) + sin(\alpha) - cos\alpha - sin\alpha$

Сокращаем подобные члены:

$(cos(\alpha) - cos(\alpha)) + (sin(\alpha) - sin(\alpha)) = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$