Номер 170, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

170. Воспользуйтесь соотношениями между тригонометрическими функциями одного и того же угла и упростите выражение:

а) $ \cos^2 \alpha - 1 $;

б) $ \sin \alpha \cdot \text{ctg} \alpha $;

в) $ \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} $;

г) $ (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) $;

д) $ \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} \cdot \text{tg} \alpha $;

е) $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha $.

а) Для упрощения выражения $cos^2\alpha - 1$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Если вынести минус за скобки, получим $-(1 - cos^2\alpha)$. Из основного тождества следует, что $1 - cos^2\alpha = sin^2\alpha$.
Следовательно, $cos^2\alpha - 1 = -(1 - cos^2\alpha) = -sin^2\alpha$.
Ответ: $-sin^2\alpha$.

б) Для упрощения выражения $sin\alpha \cdot ctg\alpha$ используем определение котангенса: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$.
Подставим это определение в исходное выражение:
$sin\alpha \cdot ctg\alpha = sin\alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$.
При условии, что $sin\alpha \neq 0$, мы можем сократить $sin\alpha$ в числителе и знаменателе.
$sin\alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = cos\alpha$.
Ответ: $cos\alpha$.

в) Упростим выражение $\frac{sin^2\alpha}{1 - cos\alpha}$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Подставим это в числитель дроби:
$\frac{1 - cos^2\alpha}{1 - cos\alpha}$.
Выражение в числителе является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$1 - cos^2\alpha = (1 - cos\alpha)(1 + cos\alpha)$.
Теперь подставим разложенное выражение обратно в дробь:
$\frac{(1 - cos\alpha)(1 + cos\alpha)}{1 - cos\alpha}$.
Сократим общий множитель $(1 - cos\alpha)$ (при условии, что $1 - cos\alpha \neq 0$):
$1 + cos\alpha$.
Ответ: $1 + cos\alpha$.

г) Выражение $(1 - sin\alpha)(1 + sin\alpha)$ представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=1$ и $b=sin\alpha$:
$(1 - sin\alpha)(1 + sin\alpha) = 1^2 - sin^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ следует, что $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$.
Следовательно, $1 - sin^2\alpha = cos^2\alpha$.
Ответ: $cos^2\alpha$.

д) Рассмотрим выражение $\frac{cos^2\alpha}{1 - cos^2\alpha} \cdot tg\alpha$.
Сначала упростим знаменатель дроби, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, откуда $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Выражение принимает вид: $\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} \cdot tg\alpha$.
Используем определения тангенса $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ и тот факт, что $\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = ctg^2\alpha$.
Подставим их в выражение:
$\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} \cdot \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.
Сокращаем дроби (при условии, что $sin\alpha \neq 0$ и $cos\alpha \neq 0$):
$\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = ctg\alpha$.
Ответ: $ctg\alpha$.

е) Упростим выражение $cos^4\alpha - sin^4\alpha + sin^2\alpha$.
Рассмотрим первые два члена: $cos^4\alpha - sin^4\alpha$. Это разность квадратов, так как $cos^4\alpha = (cos^2\alpha)^2$ и $sin^4\alpha = (sin^2\alpha)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = cos^2\alpha$ и $b = sin^2\alpha$:
$cos^4\alpha - sin^4\alpha = (cos^2\alpha - sin^2\alpha)(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$.
Таким образом, $cos^4\alpha - sin^4\alpha = (cos^2\alpha - sin^2\alpha) \cdot 1 = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.
Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходное:
$(cos^2\alpha - sin^2\alpha) + sin^2\alpha$.
Упрощая, получаем:
$cos^2\alpha - sin^2\alpha + sin^2\alpha = cos^2\alpha$.
Ответ: $cos^2\alpha$.