Номер 163, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

163. Представьте в виде произведения сумму:

а) $5^{x-1} + 5^x + 5^{x+1};$

б) $\left(\frac{1}{9}\right)^{1-x} + 81^{\frac{x}{2}} - 9^{x+1}.$

а) Чтобы представить сумму $5^{x-1} + 5^x + 5^{x+1}$ в виде произведения, необходимо вынести общий множитель за скобки. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, в данном случае это $5^{x-1}$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, представим каждый член суммы в виде произведения с множителем $5^{x-1}$:
$5^x = 5^{(x-1)+1} = 5^{x-1} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{x-1}$
$5^{x+1} = 5^{(x-1)+2} = 5^{x-1} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{x-1}$

Теперь подставим эти выражения в исходную сумму и вынесем общий множитель $5^{x-1}$ за скобки:
$5^{x-1} + 5 \cdot 5^{x-1} + 25 \cdot 5^{x-1} = 5^{x-1}(1 + 5 + 25)$

Далее вычислим значение выражения в скобках:
$1 + 5 + 25 = 31$

Таким образом, итоговое произведение равно $31 \cdot 5^{x-1}$.

Ответ: $31 \cdot 5^{x-1}$

б) Чтобы представить сумму $(\frac{1}{9})^{1-x} + 81^{\frac{x}{2}} - 9^{x+1}$ в виде произведения, приведем все степени к одному основанию. Наиболее удобное общее основание здесь — 9.

Воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Преобразуем каждый член выражения:
1. $(\frac{1}{9})^{1-x} = (9^{-1})^{1-x} = 9^{-1 \cdot (1-x)} = 9^{-1+x} = 9^{x-1}$
2. $81^{\frac{x}{2}} = (9^2)^{\frac{x}{2}} = 9^{2 \cdot \frac{x}{2}} = 9^x$
3. Третий член $9^{x+1}$ уже имеет основание 9.

После преобразования выражение принимает вид:
$9^{x-1} + 9^x - 9^{x+1}$

Вынесем за скобки общий множитель. Это степень с наименьшим показателем, то есть $9^{x-1}$:
$9^{x-1} + 9^{(x-1)+1} - 9^{(x-1)+2} = 9^{x-1} \cdot 1 + 9^{x-1} \cdot 9^1 - 9^{x-1} \cdot 9^2$
$= 9^{x-1}(1 + 9 - 9^2)$

Вычислим значение в скобках:
$1 + 9 - 81 = 10 - 81 = -71$

В результате получаем произведение $-71 \cdot 9^{x-1}$.

Ответ: $-71 \cdot 9^{x-1}$