Номер 156, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

156. Представьте выражение в виде одночлена:

а) $\sqrt[9]{a^9}$;

б) $-4\sqrt[5]{100000a^5}$;

в) $7a\sqrt[7]{-a^7}$;

г) $8a^4\sqrt[5]{-243a^5}$.

а) Для извлечения корня нечетной степени из выражения в той же степени используется тождество $\sqrt[n]{x^n} = x$ для любого нечетного $n$. В данном случае показатель корня $n=9$ является нечетным числом. Следовательно, мы можем упростить выражение:
$\sqrt[9]{a^9} = a$
Ответ: $a$

б) Упростим выражение, вынеся множители из-под знака корня. Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$.
$-4\sqrt[5]{100000a^5} = -4 \cdot \sqrt[5]{100000} \cdot \sqrt[5]{a^5}$
Число $100000$ можно представить как $10^5$. Корень пятой степени из $a^5$ равен $a$, так как показатель корня $5$ нечетный.
$\sqrt[5]{100000} = \sqrt[5]{10^5} = 10$
$\sqrt[5]{a^5} = a$
Подставим полученные значения обратно в выражение и выполним умножение:
$-4 \cdot 10 \cdot a = -40a$
Ответ: $-40a$

в) Рассмотрим выражение под корнем $\sqrt[7]{-a^7}$. Так как степень корня $n=7$ нечетная, мы можем вынести знак минуса из-под корня, используя свойство $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$ для нечетного $n$.
$\sqrt[7]{-a^7} = -\sqrt[7]{a^7}$
Поскольку $\sqrt[7]{a^7} = a$, получаем:
$\sqrt[7]{-a^7} = -a$
Теперь умножим результат на множитель, стоящий перед корнем:
$7a \cdot (-a) = -7a^2$
Ответ: $-7a^2$

г) Сначала упростим подкоренное выражение $\sqrt[5]{-243a^5}$.
Число $243$ является пятой степенью числа $3$, то есть $3^5=243$. Тогда $-243 = -3^5 = (-3)^5$.
Подкоренное выражение можно переписать в виде:
$-243a^5 = (-3)^5 a^5 = (-3a)^5$
Теперь извлечем корень пятой степени. Так как степень корня нечетная, $\sqrt[5]{x^5} = x$.
$\sqrt[5]{-243a^5} = \sqrt[5]{(-3a)^5} = -3a$
Наконец, умножим полученный результат на множитель перед корнем:
$8a^4 \cdot (-3a) = -24a^{4+1} = -24a^5$
Ответ: $-24a^5$