Номер 151, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

151. Найдите все значения переменной, при которых имеет смысл выражение:

a) $ \arcsin(2a - 1) $;

б) $ \arccos(7 - 3a) $;

в) $ \operatorname{arctg}(a^2 + a) $;

г) $ \operatorname{arcctg}(5 - a^2) $.

а) arcsin(2a - 1)

Выражение имеет смысл, когда аргумент функции арксинус находится в пределах её области определения, то есть принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это условие можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le 2a - 1 \le 1$

Для нахождения значений $a$ решим это неравенство. Сначала прибавим 1 ко всем трём частям:

$-1 + 1 \le 2a - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le 2a \le 2$

Теперь разделим все части неравенства на 2:

$0 \le a \le 1$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, принадлежащих отрезку $[0, 1]$.

Ответ: $a \in [0, 1]$.

б) arccos(7 - 3a)

Выражение имеет смысл, когда аргумент функции арккосинус находится в пределах её области определения, то есть принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Составим и решим двойное неравенство:

$-1 \le 7 - 3a \le 1$

Вычтем 7 из всех частей неравенства:

$-1 - 7 \le 7 - 3a - 7 \le 1 - 7$

$-8 \le -3a \le -6$

Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства необходимо изменить на противоположные:

$\frac{-8}{-3} \ge a \ge \frac{-6}{-3}$

$\frac{8}{3} \ge a \ge 2$

Запишем полученный результат в стандартном виде (от меньшего значения к большему):

$2 \le a \le \frac{8}{3}$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, принадлежащих отрезку $[2, \frac{8}{3}]$.

Ответ: $a \in [2, \frac{8}{3}]$.

в) arctg(a² + a)

Область определения функции арктангенс ($y = \operatorname{arctg}(x)$) — это множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Аргумент данной функции, выражение $a^2 + a$, является многочленом, который определён для любого действительного значения переменной $a$. Поскольку аргумент может быть любым действительным числом, и функция арктангенс определена для любого действительного аргумента, исходное выражение имеет смысл при любом значении $a$.

Ответ: $a$ — любое действительное число, или $a \in (-\infty, +\infty)$.

г) arcctg(5 - a²)

Область определения функции арккотангенс ($y = \operatorname{arcctg}(x)$) — это множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Аргумент данной функции, выражение $5 - a^2$, является многочленом и определён для любого действительного значения переменной $a$. Так как аргумент может быть любым действительным числом, и функция арккотангенс определена для любого действительного аргумента, исходное выражение имеет смысл при любом значении $a$.

Ответ: $a$ — любое действительное число, или $a \in (-\infty, +\infty)$.