Номер 155, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

155. Упростите выражение:

а) $\sqrt[6]{a^6}$, если $a \ge 0$;

б) $\sqrt[8]{b^8}$, если $b < 0$;

в) $\sqrt[8]{256m^8}$, если $m \ge 0$;

г) $\sqrt[4]{\frac{c^4}{81}}$, если $c < 0$;

д) $-5\sqrt[6]{64b^6}$, если $b < 0$;

е) $-2a^2\sqrt[4]{\frac{a^4}{10000}}$, если $a \ge 0$.

а) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. В данном случае показатель корня $n=6$ является четным числом, следовательно, $\sqrt[6]{a^6} = |a|$. Так как по условию $a \ge 0$, модуль неотрицательного числа равен самому числу, то есть $|a| = a$.
Ответ: $a$

б) Аналогично предыдущему пункту, показатель корня $n=8$ — четное число, поэтому $\sqrt[8]{b^8} = |b|$. По условию $b < 0$, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, то есть $|b| = -b$.
Ответ: $-b$

в) Сначала преобразуем подкоренное выражение: $256m^8 = 2^8 \cdot m^8 = (2m)^8$. Теперь исходное выражение имеет вид $\sqrt[8]{(2m)^8}$. Так как показатель корня $n=8$ четный, то $\sqrt[8]{(2m)^8} = |2m|$. По условию $m \ge 0$, следовательно, выражение $2m$ также является неотрицательным ($2m \ge 0$), поэтому $|2m| = 2m$.
Ответ: $2m$

г) Преобразуем подкоренное выражение, представив знаменатель в виде степени: $81 = 3^4$. Тогда $\frac{c^4}{81} = \frac{c^4}{3^4} = (\frac{c}{3})^4$. Исходное выражение принимает вид $\sqrt[4]{(\frac{c}{3})^4}$. Показатель корня $n=4$ — четный, значит $\sqrt[4]{(\frac{c}{3})^4} = |\frac{c}{3}|$. По условию $c < 0$, значит и частное $\frac{c}{3} < 0$. Модуль отрицательного выражения равен ему противоположному: $|\frac{c}{3}| = -\frac{c}{3}$.
Ответ: $-\frac{c}{3}$

д) Рассмотрим выражение под корнем: $64b^6 = 2^6 \cdot b^6 = (2b)^6$. Исходное выражение можно переписать как $-5\sqrt[6]{(2b)^6}$. Упростим корень: $\sqrt[6]{(2b)^6} = |2b|$, так как показатель корня $n=6$ — четный. Получаем выражение $-5|2b|$. По условию $b < 0$, значит $2b < 0$, и модуль этого выражения равен $|2b| = -2b$. Подставим это в выражение: $-5(-2b) = 10b$.
Ответ: $10b$

е) Преобразуем дробь под корнем: $10000 = 10^4$. Тогда $\frac{a^4}{10000} = \frac{a^4}{10^4} = (\frac{a}{10})^4$. Исходное выражение примет вид $-2a^2\sqrt[4]{(\frac{a}{10})^4}$. Так как показатель корня $n=4$ — четный, $\sqrt[4]{(\frac{a}{10})^4} = |\frac{a}{10}|$. Получаем $-2a^2|\frac{a}{10}|$. По условию $a \ge 0$, значит $\frac{a}{10} \ge 0$, и $|\frac{a}{10}| = \frac{a}{10}$. Подставим это в выражение: $-2a^2 \cdot \frac{a}{10} = -\frac{2a^3}{10} = -\frac{a^3}{5}$.
Ответ: $-\frac{a^3}{5}$