Номер 149, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

149. Докажите тождество $\frac{\sin\alpha - 2\sin2\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha - 2\cos2\alpha + \cos3\alpha} = \operatorname{tg}2\alpha$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\sin\alpha - 2\sin2\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha - 2\cos2\alpha + \cos3\alpha} = \frac{(\sin3\alpha + \sin\alpha) - 2\sin2\alpha}{(\cos3\alpha + \cos\alpha) - 2\cos2\alpha} $$

Воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Применим эти формулы к выражениям в скобках.

Для числителя:

$ \sin3\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos\alpha $

Для знаменателя:

$ \cos3\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha $

Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$$ \frac{2\sin2\alpha\cos\alpha - 2\sin2\alpha}{2\cos2\alpha\cos\alpha - 2\cos2\alpha} $$

Вынесем общие множители за скобки в числителе ($ 2\sin2\alpha $) и в знаменателе ($ 2\cos2\alpha $):

$$ \frac{2\sin2\alpha(\cos\alpha - 1)}{2\cos2\alpha(\cos\alpha - 1)} $$

Сократим дробь на общий множитель $ 2(\cos\alpha - 1) $. Это действие возможно при условии, что $ \cos\alpha - 1 \neq 0 $, то есть $ \cos\alpha \neq 1 $. При $ \alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ левая часть тождества представляет собой неопределенность вида $ \frac{0}{0} $, а правая часть $ \tan(2\alpha) = \tan(4\pi k) = 0 $. Тождество рассматривается для всех $ \alpha $, для которых его части определены и знаменатель не равен нулю, что исключает случай $ \cos\alpha = 1 $.

После сокращения получаем:

$$ \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} $$

По определению тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно:

$$ \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tan2\alpha $$

Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.