Номер 148, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

148. Докажите тождество:

a) $\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} = \operatorname{tg} \frac{\alpha + \beta}{2}$;

б) $\frac{\sin \alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha - \cos 3\alpha} = -\operatorname{ctg} 2\alpha.$

а)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть, используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Формула суммы синусов:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Формула суммы косинусов:

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = \frac{2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}}$

Сократим дробь на общий множитель $2\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ (при условии, что он не равен нулю, что соответствует области определения исходного выражения):

$\frac{\sin\frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos\frac{\alpha + \beta}{2}}$

По определению тангенса, $\text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Следовательно, полученное выражение равно $\text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2}$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $\text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства этого тождества воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение.

Формула разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x - y}{2}\cos\frac{x + y}{2}$

Формула разности косинусов:

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x + y}{2}\sin\frac{x - y}{2}$

Преобразуем числитель и знаменатель левой части тождества, применяя эти формулы:

Числитель: $\sin\alpha - \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha - 3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha + 3\alpha}{2} = 2\sin\frac{-2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(2\alpha) = -2\sin\alpha\cos(2\alpha)$.

Знаменатель: $\cos\alpha - \cos3\alpha = -2\sin\frac{\alpha + 3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha - 3\alpha}{2} = -2\sin\frac{4\alpha}{2}\sin\frac{-2\alpha}{2} = -2\sin(2\alpha)\sin(-\alpha) = 2\sin(2\alpha)\sin\alpha$.

При преобразованиях мы использовали свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin x$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin\alpha - \sin3\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} = \frac{-2\sin\alpha\cos(2\alpha)}{2\sin(2\alpha)\sin\alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $2\sin\alpha$ (при условии, что он не равен нулю, что соответствует области определения исходного выражения):

$\frac{-\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$

По определению котангенса, $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Следовательно, полученное выражение равно $-\text{ctg}(2\alpha)$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $-\text{ctg}(2\alpha) = -\text{ctg}(2\alpha)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.