Номер 141, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

141. Примените формулы двойного угла и упростите выражение:

а) $\frac{\sin 2\alpha}{2\sin\alpha};$

б) $2\cos^2\alpha - \cos 2\alpha;$

в) $\frac{\sin^2\alpha \operatorname{ctg}\alpha}{\sin 2\alpha};$

г) $\frac{\sin 2\alpha}{2\cos^2\alpha}.$

а) Для упрощения выражения в числителе дроби применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим данную формулу в исходное выражение:

$\frac{\sin(2\alpha)}{2\sin\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha}$

Сократим в числителе и знаменателе общий множитель $2\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$). В результате получаем:

$\cos\alpha$

Ответ: $\cos\alpha$

б) Для упрощения этого выражения применим одну из формул косинуса двойного угла, а именно $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим эту формулу в выражение:

$2\cos^2\alpha - \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1$

Ответ: $1$

в) Сначала упростим числитель дроби, используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$\sin^2\alpha\text{ctg}\alpha = \sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha\cos\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$).

В знаменателе применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin^2\alpha\text{ctg}\alpha}{\sin(2\alpha)} = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $\sin\alpha\cos\alpha$ (при условии, что $\sin(2\alpha) \neq 0$):

$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для числителя дроби применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\frac{\sin(2\alpha)}{2\cos^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $2\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Используя определение тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$\text{tg}\alpha$

Ответ: $\text{tg}\alpha$