Номер 144, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

144. Упростите выражение:

а) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$;

б) $\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha$;

в) $\cos^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$;

г) $\sin^3 \alpha \sin \alpha - \sin \alpha \cos^3 \alpha$.

а)

Исходное выражение: $\frac{\cos(2\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$.

Для упрощения числителя используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Подставим эту формулу в выражение:

$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Числитель является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)$

Теперь все выражение имеет вид:

$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(\cos\alpha + \sin\alpha)$:

$\cos\alpha - \sin\alpha$

Ответ: $\cos\alpha - \sin\alpha$

б)

Исходное выражение: $\sin\alpha\cos\alpha\cos(2\alpha)$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из нее следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\frac{1}{2}\sin(2\alpha))\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Снова применим формулу синуса двойного угла, но на этот раз для аргумента $2\alpha$. Формула имеет вид $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$, следовательно $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(4\alpha) = \frac{1}{4}\sin(4\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{4}\sin(4\alpha)$

в)

Исходное выражение: $\cos^2(2\alpha) - 4\cos^2\alpha\sin^2\alpha$.

Преобразуем второй член выражения: $4\cos^2\alpha\sin^2\alpha$. Его можно записать в виде $(2\sin\alpha\cos\alpha)^2$.

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Тогда $(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = (\sin(2\alpha))^2 = \sin^2(2\alpha)$.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\cos^2(2\alpha) - \sin^2(2\alpha)$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла для аргумента $2\alpha$:

$\cos^2(2\alpha) - \sin^2(2\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$

Ответ: $\cos(4\alpha)$

г)

Упростим выражение $\sin^3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos^3\alpha$.

Вынесем за скобки общий множитель $\sin\alpha\cos\alpha$:

$\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)$

Преобразуем каждый из множителей.

Для выражения в скобках используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Тогда:

$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos(2\alpha)$

Для множителя перед скобками используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставляем оба преобразования в выражение:

$(\frac{1}{2}\sin(2\alpha)) \cdot (-\cos(2\alpha)) = -\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Снова применяем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ для аргумента $x=2\alpha$, получаем $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha)$.

В результате получаем:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(4\alpha) = -\frac{1}{4}\sin(4\alpha)$

Ответ: $-\frac{1}{4}\sin(4\alpha)$