Номер 139, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

139. Докажите, что:

a) $\frac{2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos\alpha}{2\cos(\alpha - 30^{\circ}) - \sqrt{3}\cos\alpha} = \sqrt{3};$

б) $\frac{\sqrt{2}\cos\alpha - 2\sin(45^{\circ} - \alpha)}{2\sin(60^{\circ} + \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha} = \sqrt{2}.$

a)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим числитель дроби. Применим формулу синуса суммы $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $:

$ 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos\alpha = 2(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}) - \cos\alpha $

Подставим известные значения $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $:

$ 2(\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha \cdot \frac{1}{2}) - \cos\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha - \cos\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha $.

Теперь упростим знаменатель. Применим формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $. Учтем, что $ 30^\circ = \frac{\pi}{6} $.

$ 2\cos(\alpha - 30^\circ) - \sqrt{3}\cos\alpha = 2(\cos\alpha\cos 30^\circ + \sin\alpha\sin 30^\circ) - \sqrt{3}\cos\alpha $

Подставим известные значения $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $:

$ 2(\cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2}) - \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = \sin\alpha $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{3} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим числитель дроби. Применим формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\sin(45^\circ - \alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - 2(\sin 45^\circ \cos\alpha - \cos 45^\circ \sin\alpha) $

Подставим известные значения $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - (\sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $.

Теперь упростим знаменатель. Применим формулу синуса суммы $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $:

$ 2\sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = 2(\sin 60^\circ \cos\alpha + \cos 60^\circ \sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha $

Подставим известные значения $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $:

$ 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = \sin\alpha $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{2} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: доказано.