Номер 137, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

137. Упростите выражение:

a) $ \frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha\sin\beta}{\cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha\cos\beta} $;

б) $ \frac{\sin(\alpha + \beta) - 2\sin\alpha\cos\beta}{\cos(\alpha + \beta) - 2\cos\alpha\cos\beta} $.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha\sin\beta}{\cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha\cos\beta}$. В знаменателе этого выражения, скорее всего, допущена опечатка. Для того чтобы выражение можно было осмысленно упростить, как это обычно предполагается в подобных заданиях, знаменатель должен иметь вид $\cos(\alpha - \beta) - \cos\alpha\cos\beta$. Решим задачу, исходя из этого предположения.

Сначала упростим числитель. Для этого используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta$.

Теперь упростим предполагаемый знаменатель. Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(\alpha - \beta) - \cos\alpha\cos\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - \cos\alpha\cos\beta = \sin\alpha\sin\beta$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha\cot\beta$.

Ответ: $\cot\alpha\cot\beta$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{\sin(\alpha + \beta) - 2\sin\alpha\cos\beta}{\cos(\alpha + \beta) - 2\cos\alpha\cos\beta}$.

Упростим числитель. Для этого используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

$\sin(\alpha + \beta) - 2\sin\alpha\cos\beta = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - 2\sin\alpha\cos\beta = \cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta$.

Полученное выражение можно свернуть по формуле синуса разности: $\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta = \sin(\beta - \alpha)$.

Теперь упростим знаменатель. Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(\alpha + \beta) - 2\cos\alpha\cos\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) - 2\cos\alpha\cos\beta = -\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Вынесем знак минуса за скобки: $-(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$. Выражение в скобках является формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta)$. Таким образом, знаменатель равен $-\cos(\alpha - \beta)$.

Подставим упрощенные части обратно в дробь:

$\frac{\sin(\beta - \alpha)}{-\cos(\alpha - \beta)}$

Воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(\beta - \alpha) = \sin(-(\alpha - \beta)) = -\sin(\alpha - \beta)$.

$\frac{-\sin(\alpha - \beta)}{-\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \tan(\alpha - \beta)$.

Ответ: $\tan(\alpha - \beta)$.