Номер 133, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

133. Упростите выражение:

а) $\cos(\pi - \alpha)\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

б) $\operatorname{ctg}(\alpha - 2\pi)\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

в) $\sin(3\pi + \alpha) + \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$;

г) $\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{2} + \alpha\right) - \operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{7\pi}{2}\right)$.

а)

Упростим выражение $cos(\pi - \alpha)ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения:

1. Для $cos(\pi - \alpha)$: угол $(\pi - \alpha)$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Так как мы отнимаем от $\pi$, название функции не меняется. Таким образом, $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.

2. Для $ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Так как мы используем $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на "ко-функцию" (тангенс). Таким образом, $ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$cos(\pi - \alpha)ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = (-cos(\alpha)) \cdot (-tg(\alpha)) = cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)$.

Зная, что $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, получаем:

$cos(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$

б)

Упростим выражение $ctg(\alpha - 2\pi)ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.

Используем свойства периодичности тригонометрических функций и формулы приведения:

1. Функция котангенс имеет период $\pi$. Поскольку $2\pi$ является кратным периоду, мы можем его отбросить: $ctg(\alpha - 2\pi) = ctg(\alpha)$.

2. Для $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей четверти, где котангенс положителен. Так как мы используем $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на тангенс. Таким образом, $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ctg(\alpha - 2\pi)ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$, получаем:

$ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$.

Ответ: 1

в)

Упростим выражение $sin(3\pi + \alpha) + cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

1. Для $sin(3\pi + \alpha)$: функция синус имеет период $2\pi$. $sin(3\pi + \alpha) = sin(2\pi + \pi + \alpha) = sin(\pi + \alpha)$. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Название функции не меняется. Следовательно, $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.

2. Для $cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$: косинус является четной функцией, поэтому $cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Название функции меняется на синус. Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

Теперь сложим полученные результаты:

$-sin(\alpha) + sin(\alpha) = 0$.

Ответ: 0

г)

Упростим выражение $tg(\frac{5\pi}{2} + \alpha) - tg(\alpha - \frac{7\pi}{2})$.

Упростим каждый член выражения:

1. Для $tg(\frac{5\pi}{2} + \alpha)$: функция тангенс имеет период $\pi$. Представим $\frac{5\pi}{2}$ как $2\pi + \frac{\pi}{2}$.

$tg(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = tg(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = tg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$.

Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Название функции меняется на котангенс. Таким образом, $tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

2. Для $tg(\alpha - \frac{7\pi}{2})$: воспользуемся периодичностью тангенса. Прибавим к аргументу $4\pi = \frac{8\pi}{2}$ (кратное периоду $\pi$).

$tg(\alpha - \frac{7\pi}{2}) = tg(\alpha - \frac{7\pi}{2} + \frac{8\pi}{2}) = tg(\alpha + \frac{\pi}{2})$.

Как мы уже выяснили в первом пункте, $tg(\alpha + \frac{\pi}{2}) = tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$(-ctg(\alpha)) - (-ctg(\alpha)) = -ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$.

Ответ: 0