Номер 128, страница 180 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

128. Докажите тождество:

а) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1;$

б) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \operatorname{tg}^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha;$

В) $(1 - \operatorname{tg}\alpha)^2 + (1 + \operatorname{tg}\alpha)^2 = \frac{2}{\cos^2 \alpha};$

Г) $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2.$

а)

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем за скобки общий множитель $ \cos^2 \alpha $:

$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Подставив это значение в выражение, получаем:

$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем 1, что равно правой части. Таким образом, левая часть тождества равна правой.

Ответ: тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть тождества. Вынесем общий множитель $ \sin^2 \alpha $ за скобки:

$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \tan^2 \alpha = \sin^2 \alpha (1 + \tan^2 \alpha) $

Используем тригонометрическое тождество $ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $. Подставив его в выражение, получаем:

$ \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

По определению тангенса $ \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $. Следовательно, левая часть тождества равна правой.

Ответ: тождество доказано.

в)

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $:

$ (1 - \tan \alpha)^2 + (1 + \tan \alpha)^2 = (1 - 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha) + (1 + 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha) $

Приведем подобные слагаемые (члены $ -2\tan \alpha $ и $ 2\tan \alpha $ взаимно уничтожаются):

$ 1 + \tan^2 \alpha + 1 + \tan^2 \alpha = 2 + 2\tan^2 \alpha $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ 2(1 + \tan^2 \alpha) $

Используя тождество $ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos^2 \alpha} $

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: тождество доказано.

г)

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $

Приведем подобные слагаемые. Члены $ 2\sin \alpha \cos \alpha $ и $ -2\sin \alpha \cos \alpha $ взаимно уничтожаются:

$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 + 1 = 2 $

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: тождество доказано.