Номер 124, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

124. Из данных чисел выберите все положительные числа:

$\cos\frac{13\pi}{6}$;

$\log_{\sqrt{1.001}}3$;

$-6^2$;

$3^{-1}$;

$\lg0.99$.

Для того чтобы выбрать все положительные числа, необходимо проанализировать знак каждого из предложенных выражений.

а) $ \cos\frac{13\pi}{6} $

Преобразуем аргумент функции, используя ее периодичность ($ 2\pi $):

$ \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} $.

Таким образом, $ \cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Так как $ \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 $, данное число является положительным.

Ответ: положительное.

б) $ \log_{\sqrt{1.001}} 3 $

Рассмотрим свойства логарифма $ \log_a b $. Если основание $ a > 1 $ и аргумент $ b > 1 $, то значение логарифма положительно.

В данном случае основание $ a = \sqrt{1.001} $. Поскольку $ 1.001 > 1 $, то и $ \sqrt{1.001} > 1 $.

Аргумент логарифма $ b = 3 $, что также больше 1.

Следовательно, данное число является положительным.

Ответ: положительное.

в) $ -6^2 $

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус (отрицание):

$ -6^2 = -(6^2) = -36 $.

Данное число является отрицательным.

Ответ: отрицательное.

г) $ 3^{-1} $

По определению степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$ 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} $.

Данное число является положительным.

Ответ: положительное.

д) $ \lg 0.99 $

Обозначение $ \lg $ соответствует десятичному логарифму, то есть логарифму по основанию 10: $ \lg 0.99 = \log_{10} 0.99 $.

Если основание логарифма $ a > 1 $ (здесь $ a=10 $), а его аргумент $ b $ находится в интервале $ 0 < b < 1 $ (здесь $ b=0.99 $), то значение логарифма отрицательно.

Ответ: отрицательное.

Итоговый выбор положительных чисел: $ \cos\frac{13\pi}{6} $, $ \log_{\sqrt{1.001}} 3 $, $ 3^{-1} $.