Номер 123, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

123. Найдите значение выражения $0.5^{\log_2 0.04} + \log_{\sqrt{7}} 0.5 - \log_{\frac{1}{7}} 4$.

Для нахождения значения выражения $0.5^{\log_2{0.04}} + \log_{\sqrt{7}}{0.5} - \log_{\frac{1}{7}}{4}$ упростим каждое слагаемое поочередно.

1. Упростим первое слагаемое $0.5^{\log_2{0.04}}$

Представим основание $0.5$ в виде степени числа $2$: $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Выражение примет вид: $(2^{-1})^{\log_2{0.04}}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{-1 \cdot \log_2{0.04}} = 2^{-\log_2{0.04}}$. Далее, используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, перенесем коэффициент $-1$ в показатель степени числа под логарифмом: $2^{\log_2{(0.04)^{-1}}}$. Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:$2^{\log_2{(0.04)^{-1}}} = (0.04)^{-1}$. Вычислим значение: $0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. Следовательно, $(0.04)^{-1} = (\frac{1}{25})^{-1} = 25$.

2. Упростим сумму $\log_{\sqrt{7}}{0.5} - \log_{\frac{1}{7}}{4}$

Приведем оба логарифма к одному основанию, например, к основанию $7$. Воспользуемся формулой $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем первый логарифм $\log_{\sqrt{7}}{0.5}$. Так как $\sqrt{7} = 7^{1/2}$, получаем:$\log_{\sqrt{7}}{0.5} = \log_{7^{1/2}}{0.5} = \frac{1}{1/2} \log_7{0.5} = 2\log_7{0.5}$. Применив свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, получим:$2\log_7{0.5} = \log_7{(0.5)^2} = \log_7{0.25}$.

Преобразуем второй логарифм $\log_{\frac{1}{7}}{4}$. Так как $\frac{1}{7} = 7^{-1}$, получаем:$\log_{\frac{1}{7}}{4} = \log_{7^{-1}}{4} = \frac{1}{-1}\log_7{4} = -\log_7{4}$.

Теперь подставим преобразованные выражения в исходную сумму:$\log_{\sqrt{7}}{0.5} - \log_{\frac{1}{7}}{4} = \log_7{0.25} - (-\log_7{4}) = \log_7{0.25} + \log_7{4}$. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$:$\log_7(0.25 \cdot 4) = \log_7(1)$. Значение логарифма единицы по любому основанию равно нулю: $\log_7(1) = 0$.

3. Найдем итоговое значение

Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:$25 + 0 = 25$.

Ответ: $25$