Номер 120, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

120. Вычислите:

а) $\log_2 \cos \frac{\pi}{4}$;

б) $\log_5 \text{tg} \frac{5\pi}{4}$;

в) $\log_4 \sin \frac{25\pi}{6}$;

г) $\log_3 \text{ctg} \left(-\frac{5\pi}{6}\right).

а) Для вычисления выражения $log_2 \cos\frac{\pi}{4}$ первым шагом найдем значение тригонометрической функции. Известно, что значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ равно:
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$log_2 \cos\frac{\pi}{4} = log_2(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Для вычисления логарифма представим его аргумент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде степени с основанием 2:
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{\frac{1}{2} - 1} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Подставляем полученное выражение обратно в логарифм:
$log_2(2^{-1/2})$.
Используя основное свойство логарифма $log_a(a^x) = x$, получаем:
$log_2(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Для вычисления выражения $log_5 \tg\frac{5\pi}{4}$ сначала найдем значение $\tg\frac{5\pi}{4}$.
Угол $\frac{5\pi}{4}$ можно представить в виде суммы $\pi + \frac{\pi}{4}$. Используем формулу приведения для тангенса $\tg(\pi + \alpha) = \tg(\alpha)$:
$\tg\frac{5\pi}{4} = \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg\frac{\pi}{4}$.
Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1:
$\tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Теперь подставим это значение в логарифм:
$log_5(1)$.
Логарифм единицы по любому положительному и отличному от 1 основанию равен нулю.
$log_5(1) = 0$.
Ответ: $0$

в) Для вычисления выражения $log_4 \sin\frac{25\pi}{6}$ сначала найдем значение $\sin\frac{25\pi}{6}$.
Так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$, мы можем упростить аргумент, выделив целое число периодов:
$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi + \pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\sin\frac{25\pi}{6} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6}$.
Значение синуса угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$:
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Подставим найденное значение в логарифм:
$log_4(\frac{1}{2})$.
Для вычисления логарифма представим основание 4 и аргумент $\frac{1}{2}$ в виде степеней числа 2: $4=2^2$ и $\frac{1}{2}=2^{-1}$.
Используем свойство логарифма $log_{a^k} b = \frac{1}{k}log_a b$:
$log_4(\frac{1}{2}) = log_{2^2}(2^{-1})$.
Применяя свойство $log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} log_a b$, получаем:
$log_{2^2}(2^{-1}) = \frac{-1}{2}log_2(2) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

г) Для вычисления выражения $log_3 \ctg(-\frac{5\pi}{6})$ сначала найдем значение $\ctg(-\frac{5\pi}{6})$.
Функция котангенса является нечетной, т.е. $\ctg(-x) = -\ctg(x)$, и периодической с периодом $\pi$. Воспользуемся периодичностью:
$\ctg(-\frac{5\pi}{6}) = \ctg(-\frac{5\pi}{6} + \pi) = \ctg(\frac{-5\pi+6\pi}{6}) = \ctg(\frac{\pi}{6})$.
Значение котангенса угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\sqrt{3}$:
$\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
Теперь подставим это значение в логарифм:
$log_3(\sqrt{3})$.
Чтобы вычислить логарифм, представим аргумент $\sqrt{3}$ в виде степени с основанием 3:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
Подставляем полученное выражение обратно в логарифм:
$log_3(3^{1/2})$.
Используя свойство $log_a(a^x) = x$, получаем:
$log_3(3^{1/2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$