Номер 115, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

115. Найдите два последовательных целых числа, между которыми на координатной прямой находится число:

а) $- \sqrt[3]{126}$;

б) $\lg 9999$;

В)* $-6\operatorname{tg}\frac{16\pi}{3}$.

а) $-\sqrt[3]{126}$

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $-\sqrt[3]{126}$, нам нужно сначала оценить значение $\sqrt[3]{126}$.

Мы ищем два последовательных целых числа, кубы которых находятся по обе стороны от 126. Рассмотрим кубы целых чисел:

$5^3 = 125$

$6^3 = 216$

Поскольку $125 < 126 < 216$, мы можем записать неравенство для кубических корней:

$\sqrt[3]{125} < \sqrt[3]{126} < \sqrt[3]{216}$

Отсюда следует:

$5 < \sqrt[3]{126} < 6$

Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-6 < -\sqrt[3]{126} < -5$

Таким образом, число $-\sqrt[3]{126}$ находится на координатной прямой между целыми числами -6 и -5.

Ответ: -6 и -5.

б) $\lg 9999$

Выражение $\lg 9999$ представляет собой десятичный логарифм числа 9999, то есть $\log_{10} 9999$. Нам нужно найти такое целое число $n$, что $n < \lg 9999 < n+1$.

Это неравенство эквивалентно следующему:

$10^n < 9999 < 10^{n+1}$

Рассмотрим степени числа 10:

$10^3 = 1000$

$10^4 = 10000$

Мы видим, что $1000 < 9999 < 10000$. Следовательно, мы можем записать:

$10^3 < 9999 < 10^4$

Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, мы можем прологарифмировать все части неравенства, не меняя знаков:

$\lg(10^3) < \lg 9999 < \lg(10^4)$

Используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$, получаем:

$3 < \lg 9999 < 4$

Таким образом, число $\lg 9999$ находится на координатной прямой между целыми числами 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

в)* $-6\tg\frac{16\pi}{3}$

Сначала упростим тригонометрическое выражение. Для этого преобразуем аргумент тангенса $\frac{16\pi}{3}$:

$\frac{16\pi}{3} = \frac{15\pi + \pi}{3} = \frac{15\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 5\pi + \frac{\pi}{3}$

Тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\tg(x + k\pi) = \tg(x)$ для любого целого $k$. В нашем случае $k=5$.

$\tg\frac{16\pi}{3} = \tg(5\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg\frac{\pi}{3}$

Значение тангенса этого угла является табличным:

$\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$-6\tg\frac{16\pi}{3} = -6 \cdot \sqrt{3} = -6\sqrt{3}$

Далее найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $-6\sqrt{3}$. Оценим значение $6\sqrt{3}$. Для этого возведем его в квадрат:

$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$

Найдем два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 108:

$10^2 = 100$

$11^2 = 121$

Так как $100 < 108 < 121$, мы можем записать неравенство:

$10^2 < (6\sqrt{3})^2 < 11^2$

Извлекая квадратный корень из всех частей, получаем:

$10 < 6\sqrt{3} < 11$

Наконец, умножим неравенство на -1, изменив знаки на противоположные:

$-11 < -6\sqrt{3} < -10$

Следовательно, число $-6\tg\frac{16\pi}{3}$ находится между целыми числами -11 и -10.

Ответ: -11 и -10.