Номер 113, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

113. Найдите значение выражения:

а) $5^{3-2\sqrt{2}} \cdot 25^{\sqrt{2}}$;

б) $4^{\sqrt{7}} : 2^{2\sqrt{7}-5}$;

в) $(5^{1-\sqrt{3}})^{2\sqrt{3}+2}$.

а) $5^{3-2\sqrt{2}} \cdot 25^{\sqrt{2}}$

Для решения этого примера мы приведем оба множителя к одному основанию. Заметим, что $25 = 5^2$.

Подставим $5^2$ вместо $25$ в исходное выражение:

$5^{3-2\sqrt{2}} \cdot (5^2)^{\sqrt{2}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^2)^{\sqrt{2}} = 5^{2 \cdot \sqrt{2}} = 5^{2\sqrt{2}}$

Теперь выражение выглядит так:

$5^{3-2\sqrt{2}} \cdot 5^{2\sqrt{2}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^{(3-2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}} = 5^{3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}} = 5^3$

Вычислим значение:

$5^3 = 125$

Ответ: 125

б) $4^{\sqrt{7}} : 2^{2\sqrt{7}-5}$

Приведем степени к одному основанию. Мы знаем, что $4 = 2^2$.

Заменим $4$ на $2^2$ в выражении:

$(2^2)^{\sqrt{7}} : 2^{2\sqrt{7}-5}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$2^{2 \cdot \sqrt{7}} : 2^{2\sqrt{7}-5} = 2^{2\sqrt{7}} : 2^{2\sqrt{7}-5}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$2^{2\sqrt{7} - (2\sqrt{7}-5)} = 2^{2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 5} = 2^5$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: 32

в) $(5^{1-\sqrt{3}})^{2\sqrt{3}+2}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом случае нужно перемножить показатели степеней:

$5^{(1-\sqrt{3})(2\sqrt{3}+2)}$

Раскроем скобки в показателе степени. Можно вынести общий множитель 2 из второй скобки:

$(1-\sqrt{3})(2\sqrt{3}+2) = (1-\sqrt{3}) \cdot 2(\sqrt{3}+1) = 2(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})$

Теперь применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$2(1^2 - (\sqrt{3})^2) = 2(1-3) = 2(-2) = -4$

Таким образом, исходное выражение равно:

$5^{-4}$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$

Ответ: $\frac{1}{625}$